اگر شرط انتگرال پذیری را از قضیه فوبینی حذف کنیم در حکم تساوی رخ نمی دهد

Question

با یک مثال نشان دهید اگر شرط انتگرال پذیری را از قضیه فوبینی حذف کنیم در حکم تساوی رخ نمی دهد

Answer 1

می توانید نشان دهید $$\int_1^\infty \int_1^\infty |\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}|dxdy=\infty$$

در واقع

$$\begin{align}\int_1^\infty \int_1^\infty |\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}|dxdy&=\int_1^\infty(\int_1^y \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dx+\int_y^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dx)dy\\ &=\int_1^\infty(\frac{x}{x^2+y^2}|_1^y+\frac{-x}{x^2+y^2}|_y^\infty)dy\\ &=\int_1^\infty(\frac{y}{2y^2}-\frac{1}{1+y^2}+0+\frac{y}{2y^2})dy\\ &=\int_1^\infty (\frac 1y-\frac{1}{1+y^2})dy\\ &=\int_1^\infty \frac 1ydy+\int_1^\infty \frac{1}{1+y^2}dy\\ &=\infty \end{align}$$ یعنی انتگرال پذیر نیست و $$\int_1^\infty \int_1^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx=-\frac\pi4\\ \int_1^\infty \int_1^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dxdy=\frac\pi4$$ مثلا برای انتگرال اولی داریم:

$$\begin{align}\int_1^\infty \int_1^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx&=\int_1^\infty(\frac{y}{x^2+y^2}|_1^\infty)dx\\ &=\int_1^\infty(-\frac 1{1+x^2})dx\\ &=-\tan^{-1}x|_1^\infty\\ &=-\frac\pi2+\frac\pi4\\ &=-\frac \pi 4\end{align}$$