به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
169 بازدید
در دانشگاه توسط Hanieh
ویرایش شده توسط fardina

با یک مثال نشان دهید اگر شرط انتگرال پذیری را از قضیه فوبینی حذف کنیم در حکم تساوی رخ نمی دهد

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina
انتخاب شده توسط Hanieh
 
بهترین پاسخ

می توانید نشان دهید $$\int_1^\infty \int_1^\infty |\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}|dxdy=\infty$$

در واقع

$$\begin{align}\int_1^\infty \int_1^\infty |\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}|dxdy&=\int_1^\infty(\int_1^y \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dx+\int_y^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dx)dy\\ &=\int_1^\infty(\frac{x}{x^2+y^2}|_1^y+\frac{-x}{x^2+y^2}|_y^\infty)dy\\ &=\int_1^\infty(\frac{y}{2y^2}-\frac{1}{1+y^2}+0+\frac{y}{2y^2})dy\\ &=\int_1^\infty (\frac 1y-\frac{1}{1+y^2})dy\\ &=\int_1^\infty \frac 1ydy+\int_1^\infty \frac{1}{1+y^2}dy\\ &=\infty \end{align}$$ یعنی انتگرال پذیر نیست و $$\int_1^\infty \int_1^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx=-\frac\pi4\\ \int_1^\infty \int_1^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dxdy=\frac\pi4$$ مثلا برای انتگرال اولی داریم:

$$\begin{align}\int_1^\infty \int_1^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx&=\int_1^\infty(\frac{y}{x^2+y^2}|_1^\infty)dx\\ &=\int_1^\infty(-\frac 1{1+x^2})dx\\ &=-\tan^{-1}x|_1^\infty\\ &=-\frac\pi2+\frac\pi4\\ &=-\frac \pi 4\end{align}$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...