به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
پرسش سوال

قضیه همگرایی یکنوا در حالت تقریبا متناهی

+3 امتیاز
2,145 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ f_{n} \in L^{+} $ و $ \big(a.e\big) f_{n} \nearrow f $ آنگاه $ \int f =\lim_{n\to\infty} \int f_{n} $ .

توسط fardina (17,627 امتیاز)
+1
این قضیه معروفی است به نام "قضیه همگرایی یکنوا" یا "Monotone Convergence Theorem" . مثلا برای اثباتش به کتاب فولند رجوع کنید. فصل دوم بخش بوم قضیه 2.14
http://books.google.com/books?id=wI4fAwAAQBAJ&pg=PT51&lpg=PT51&dq=2.14+the+monotone+convergence+theorem+folland&source
اگر در اثبات قضیه مشکل دارید باید تا جایی که متوجه میشید رو بنویسید و بعد من شاید بتونم کمکتون کنم. یا کاربران دیگر.
توسط
+1
با عرض سلام
این قضیه در کتاب فولند در حالت کلی اومده اما در اینجا در حالت (a.e) بیان شده است. میخاستم فقط ببینم شیوه اثبات با حالت کلی فرق دارد.
تشکر

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina (17,627 امتیاز)

فرض کنید $ E $ مجموعه تمام نقاط $ x$ باشد که $ f_n(x) \nearrow f(x) $ در اینصورت بنابر فرض $\mu(E^c)=0 $ . حال قرار دهید $g_n=f_n\chi_E $ و $ g=f\chi_E $ . در اینصورت $g_n \nearrow g $ همه جا. لذا بنابر قضیه همگرایی یکنوا داریم : $$ \lim_{n\to\infty} \int g_n=\int g $$ که از این هم نتیجه می شود $\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f $ (چرا؟)

چگونه می توانم به محفل ریاضی کمک کنم؟

کانال تلگرام محفل ریاضی

سوالات مشابه

“ ریاضیدان، کسی است که شباهت ها را بین قضایا دریابد. ریاضیدان بهتر کسی است که بتواند شباهت بین برهان ها را ببیند. بهترین ریاضیدان کسی است که بتواند به شباهت بین نظریه ها توجه کند. و می توان تصور کرد که ریاضیدان نهایی کسی است که بتواند شباهت بین شباهت ها را مشاهده کند.
...