به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
1,211 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ f_{n} \in L^{+} $ و $ \big(a.e\big) f_{n} \nearrow f $ آنگاه $ \int f =\lim_{n\to\infty} \int f_{n} $ .

توسط fardina
+1
این قضیه معروفی است به نام "قضیه همگرایی یکنوا" یا "Monotone Convergence Theorem" . مثلا برای اثباتش به کتاب فولند رجوع کنید. فصل دوم بخش بوم قضیه 2.14
http://books.google.com/books?id=wI4fAwAAQBAJ&pg=PT51&lpg=PT51&dq=2.14+the+monotone+convergence+theorem+folland&source
اگر در اثبات قضیه مشکل دارید باید تا جایی که متوجه میشید رو بنویسید و بعد من شاید بتونم کمکتون کنم. یا کاربران دیگر.
توسط
+1
با عرض سلام
این قضیه در کتاب فولند در حالت کلی اومده اما در اینجا در حالت (a.e) بیان شده است. میخاستم فقط ببینم شیوه اثبات با حالت کلی فرق دارد.
تشکر

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina

فرض کنید $ E $ مجموعه تمام نقاط $ x$ باشد که $ f_n(x) \nearrow f(x) $ در اینصورت بنابر فرض $\mu(E^c)=0 $ . حال قرار دهید $g_n=f_n\chi_E $ و $ g=f\chi_E $ . در اینصورت $g_n \nearrow g $ همه جا. لذا بنابر قضیه همگرایی یکنوا داریم : $$ \lim_{n\to\infty} \int g_n=\int g $$ که از این هم نتیجه می شود $\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f $ (چرا؟)

لطفا برای گسترش و ادامه فعالیت محفل ریاضی از آن حمایت کنید:

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...