شرط صعودی بودن در قضیه همگرایی یکنوا ضروری است؟

Question

چرا شرط صعودی بودن دنباله توابع در قضیه همگرایی یکنوا ضروری است؟

Answer 1

به عنوان یک مثال نقض دنباله توابع $f_n$ را روی بازه $[0,1]$ به صورت شکل داده شده در نظر بگیرید:

در اینصورت $f_n(x)\to 0$ برای هر $x\in[0,1]$ در حالیکه $\lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]} f_n(x)dx \neq \int 0$ . چرا؟

Comments

به اثبات اصلا شک ندارم ولی:
پس این nی که روی محور yها گذاشتین چیه؟؟؟ مگه غیر از اینه که با افزایش n, قاعده ی مثلث کوچیک و کوچیکتر میشه و ارتفاعش بزرگ و بزرگتر؟؟؟ قاعده مثلث که به صفر میل میکنه ولی توو همه ی این دیدگاها منظور من این بود که تکلیف این ارتفاعی که مرتبا در حال افزایشه چی میشه؟!؟!؟
بگذریم,خیلی خستتون کردم,از لطفتون هم ممنون

---

ببینید فرض کنید $x$ یک نقطه در $[0,1]$ باشه. در اینصورت ما میخوایم بدونیم تکلیف $f_n(x)$ چی میشه. شما وقتی $f_n$ رو برای $n$ های بزرگ در نظر میگیرید میدونید که اون قاعده مثلث کوچک و کوچکتر میشه. خوب وقتی که $n$ خیلی بزرگ بشه مطمئنا اون $x$ که در نظر گرفته بودین خارج از قاعده مثلث میفته. مشکل اینه که شما فکر میکنید این $x$ با کوچک شدن قاعده مثلث اون همیشه توی قاعده میمونه. درحالیکه اینطور نیست.
مثلا فرض کنید نقطه $x=\frac{1}{1000000}$ در اینصورت فقط برای $n\leq 1000000$ این نقطه داخل قاعده مثلث میفته و لذا مقدار $f_n(x)$ مثبت میشه. ولی از $n\geq 1000001$ به بعد دیگه این نقطه داخل قاعده مثلثه نمیفته و بنابراین از $1000001$ به بعد داریم $f_n(x)=0$. بنابراین $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$
نمیدونم دیگه شاید من نمیتونم درست توضیح بدم.

---

یا اصلا بهتر بگم: شما یک نقطه غیر از صفر به من بگید که توی قاعده همه ی $f_n$ ها قرار بگیره؟

---

آهان,حالا شد.دیگه واقعا قانع شدم.سپاس
ببخشید اگه خیلی اذیتتون کردم.مشکل من اینه که برخلاف خیلی از ریاضی خون ها,نمیتونم یک مساله ریاضی رو بدون اینکه کاملا درکش کنم ازش بگذرم.شایدم سوالام از دید شما خیلی پیش و پا افتاده باشه ولی از کمکتون خیلی ممنونم.

---

@رها ، ای کاش تیک تأیید پاسخ را نیز پس از اینکه فهمیدید درست است می‌زدید.