به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
406 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

چرا شرط صعودی بودن دنباله توابع در قضیه همگرایی یکنوا ضروری است؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

به عنوان یک مثال نقض دنباله توابع $f_n $ را روی بازه $[0,1] $ به صورت شکل داده شده در نظر بگیرید: enter image description here

در اینصورت $ f_n(x)\to 0 $ برای هر $x\in[0,1] $ در حالیکه $ \lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]} f_n(x)dx \neq \int 0 $ . چرا؟

دارای دیدگاه توسط
+1
به اثبات اصلا شک ندارم ولی:
پس این nی که روی محور yها گذاشتین چیه؟؟؟ مگه غیر از اینه که با افزایش n, قاعده ی مثلث کوچیک و کوچیکتر میشه و ارتفاعش بزرگ و بزرگتر؟؟؟ قاعده مثلث که به صفر میل میکنه ولی توو همه ی این دیدگاها منظور من این بود که تکلیف این ارتفاعی که مرتبا در حال افزایشه چی میشه؟!؟!؟
بگذریم,خیلی خستتون کردم,از لطفتون هم ممنون
دارای دیدگاه توسط
+3
ببینید فرض کنید $x$ یک نقطه در $[0,1]$ باشه. در اینصورت ما میخوایم بدونیم تکلیف $f_n(x)$ چی میشه. شما وقتی $f_n$ رو برای $n$ های بزرگ در نظر میگیرید میدونید که اون قاعده مثلث کوچک و کوچکتر میشه. خوب وقتی که $n$ خیلی بزرگ بشه مطمئنا اون $x$ که در نظر گرفته بودین خارج از قاعده مثلث میفته. مشکل اینه که شما فکر میکنید این $x$ با کوچک شدن قاعده مثلث اون همیشه توی قاعده میمونه. درحالیکه اینطور نیست.
مثلا فرض کنید نقطه $x=\frac{1}{1000000}$ در اینصورت فقط برای $n\leq 1000000$ این نقطه داخل قاعده مثلث میفته و لذا مقدار $f_n(x)$ مثبت میشه. ولی از $n\geq 1000001$ به بعد دیگه این نقطه داخل قاعده مثلثه نمیفته و بنابراین از $1000001$ به بعد داریم $f_n(x)=0$. بنابراین $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$
نمیدونم دیگه شاید من نمیتونم درست توضیح بدم.
دارای دیدگاه توسط
+2
یا اصلا بهتر بگم: شما یک نقطه غیر از صفر به من بگید که توی قاعده همه ی $f_n$ ها قرار بگیره؟
دارای دیدگاه توسط
+1
آهان,حالا شد.دیگه واقعا قانع شدم.سپاس
ببخشید اگه خیلی اذیتتون کردم.مشکل من اینه که برخلاف خیلی از ریاضی خون ها,نمیتونم یک مساله ریاضی رو بدون اینکه کاملا درکش کنم ازش بگذرم.شایدم سوالام از دید شما خیلی پیش و پا افتاده باشه ولی از کمکتون خیلی ممنونم.
دارای دیدگاه توسط
@رها ، ای کاش تیک تأیید پاسخ را نیز پس از اینکه فهمیدید درست است می‌زدید.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...