شرط صعودی بودن در قضیه همگرایی یکنوا ضروری است؟

Question

چرا شرط صعودی بودن دنباله توابع در قضیه همگرایی یکنوا ضروری است؟

Answer 1

به عنوان یک مثال نقض دنباله توابع $f_n $ را روی بازه $[0,1] $ به صورت شکل داده شده در نظر بگیرید:

در اینصورت $ f_n(x)\to 0 $ برای هر $x\in[0,1] $ در حالیکه $ \lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]} f_n(x)dx \neq \int 0 $ . چرا؟

Comments

@fa از روی شکل کاملا برام قابل درک هست که در بی نهایت,مساحت زیر منحنی به صفر میل میکنه ولی در حالت کلی برای هر$ n$ مقدار مساحت زیر منحنی برابر با$1/2 $(یعنی مساحت مثلث)هستش و nروی محور yها مرتبا در حال افزایش هست.با این اوصاف به صفر میل کردن $f_n$ ها رو چطور با روابط ریاضی میشه نشون داد؟؟؟

---

متوجه سوالتون نشدم. ولی مساحت هر کدام از $f_n$ ها برابر مساحت زیر نمودارش یعنی مساحت مثلث هست. پس
$\int_{[0,1]} f_n=\frac12 \frac 1n\times n=1/2$ و لذا $\lim_{n\to\infty} \int_{[0,1]}f_n=\lim_{n\to\infty}1/2=1/2$ در حالیکه $\int_{[0,1]}f=\int_{[0,1]} 0=0$
پس  $ \lim_{n\to\infty}\int f_n \neq \int f $

---

@f خب منم همین رو میگم,هر کدوم از f_nها مساحتی برابر با 1/2 دارن.طبق صورت قضیه f_n  به f میل میکنه که شما طبق روابط بالا  f رو برابر با صفر در نظر گرفتین ولی nروی محور yها به بی نهایت میل میکنه,یعنی f یک خط روی محور yها میشه,با وجود این چطور ثابت کنیم که f_n به صفر میل میکنه(با روابط ریاضی نه از روی شکل)
(منظورم اینه که f که برابر با صفر (مبدا مختصات)نیست)

---

فکرکنم شما دنباله توابع رو نخوندین؟
فرض کنید که $x\in[0,1]$ دلخواه باشد در اینصورت بنابر لم ارشمیدسی اعداد $N$طبیعی هست که $\frac1N< x$ لذا برای $n\geq N$ داریم: $\frac 1n<x$ بنابراین برای $n\geq N$ داریم $f_n(x)=0\to 0$.
منظور از $f=0$ مبدا مختصات نیست که!!
منظور تابع صفره!

---

نه نه نه! اصلا منظورم این نبود,همه ی اینا رو متوجه هستم,منظورم چیزه دیگه ای هستش,نمیدونم باید چطوری بیان کنم.شما رو بیشتر ازین خسته نکنم بهتره(تا از دستم عصبانی نشدین).به هر حال بازم ممنون

---

نه شما میتونید هر سوالی دارید بپرسید. منم اگه تونستم کمک میکنم.
الان شما گفتین اثبات ریاضی اینکه دنباله $f_n$ به سمت تابع صفر همگراست رو بنویسید که منم نوشتم.
$f$ یک خط روی محور $y$ ها نمیشه چون در اینصورت اصلا تابع نیست.
ولی به اون قسمت مهم از تابع از $1/n$ تا $1$ که دنباله توابع به صورت صفر تعریف شده هم توجه کنید!
(توی قسمت دیدگاه هم ریاضی که نوشتید فقط بین دو تا دلار بذارید قشنگتر نشونش میشه)

---

خب به قول شما یه قسمت از تابع طبق شکل هست که دنباله توابع به صورت صفر تعریف شده ولی علاوه بر این قسمتی از تابع هم وجود داره که با افزایش n روی محور yها تا بی نهایت افزایش پیدا میکنه که من بد بیان کردم و به قول شما یک خط منطبق بر محور yها نمیشه.مگه تابع صفر تابعی نیست که کاملا منطبق بر محور xها باشه؟؟؟

---

هیچکدوم از $f_n$ها روی محور $y$ با افزایش $n$ افزایش پیدا نمی کنند. بلکه برای هررر $n$ داریم: $f_n(0)=0$.
تازه شما میگید با افزایش $n$ روی محور $y$ها افزایش پیدا میکنه. ولی به این هم دقت کنید وقتی که $n$ خیلی بزرگ بشه بازه $[0,1/n]$ هم خیلی کوچیک و کوچکتر میشه. در واقع در بی نهایت صفر میشه. و در خود صفر هم همه جملات دنباله توابع صفر شدن. پس در کل بازه به صفر همگرا هستند.
به هر حال شاید از روی شکل براتون خیلی واضح نباشه(برای من هم شاید زیاد واضح نباشه). ولی اثبات ریاضی همگرایی دنباله توابع به صفر رو براتون نوشتم. و شکی در اون اثبات نداشته باشید.

---

به اثبات اصلا شک ندارم ولی:
پس این nی که روی محور yها گذاشتین چیه؟؟؟ مگه غیر از اینه که با افزایش n, قاعده ی مثلث کوچیک و کوچیکتر میشه و ارتفاعش بزرگ و بزرگتر؟؟؟ قاعده مثلث که به صفر میل میکنه ولی توو همه ی این دیدگاها منظور من این بود که تکلیف این ارتفاعی که مرتبا در حال افزایشه چی میشه؟!؟!؟
بگذریم,خیلی خستتون کردم,از لطفتون هم ممنون

---

ببینید فرض کنید $x$ یک نقطه در $[0,1]$ باشه. در اینصورت ما میخوایم بدونیم تکلیف $f_n(x)$ چی میشه. شما وقتی $f_n$ رو برای $n$ های بزرگ در نظر میگیرید میدونید که اون قاعده مثلث کوچک و کوچکتر میشه. خوب وقتی که $n$ خیلی بزرگ بشه مطمئنا اون $x$ که در نظر گرفته بودین خارج از قاعده مثلث میفته. مشکل اینه که شما فکر میکنید این $x$ با کوچک شدن قاعده مثلث اون همیشه توی قاعده میمونه. درحالیکه اینطور نیست.
مثلا فرض کنید نقطه $x=\frac{1}{1000000}$ در اینصورت فقط برای $n\leq 1000000$ این نقطه داخل قاعده مثلث میفته و لذا مقدار $f_n(x)$ مثبت میشه. ولی از $n\geq 1000001$ به بعد دیگه این نقطه داخل قاعده مثلثه نمیفته و بنابراین از $1000001$ به بعد داریم $f_n(x)=0$. بنابراین $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$
نمیدونم دیگه شاید من نمیتونم درست توضیح بدم.

---

یا اصلا بهتر بگم: شما یک نقطه غیر از صفر به من بگید که توی قاعده همه ی $f_n$ ها قرار بگیره؟

---

آهان,حالا شد.دیگه واقعا قانع شدم.سپاس
ببخشید اگه خیلی اذیتتون کردم.مشکل من اینه که برخلاف خیلی از ریاضی خون ها,نمیتونم یک مساله ریاضی رو بدون اینکه کاملا درکش کنم ازش بگذرم.شایدم سوالام از دید شما خیلی پیش و پا افتاده باشه ولی از کمکتون خیلی ممنونم.

---

@رها ، ای کاش تیک تأیید پاسخ را نیز پس از اینکه فهمیدید درست است می‌زدید.