حذف شرط همگرایی در تعمیم قضیه تسلطی لبگ

Question

سلام. در تعمیم قضیه تسلطی لبگ میتوان با حذف شرط دنباله g_{n} به g همگرا است، قضیه را اثبات کرد؟؟

صورت قضیه بعد از حذف شرط همگرایی به این شکل می باشد. فرض شود $g_{n}$ یک دنباله از توابع انتگرال پذیر و $ f_{n} $یک دنباله از توابع اندازه پذیر است به طوری که روی زیر مجموعه اندازه پذیر E داریم: $$ \mid f_{n} \mid \leq g_{n} $$ حال اگر تقریبا همه جا $$ \lim_{n \rightarrow \infty } f_{n} =f $$ در این صورت نشان دهید : $$ \lim_{n \rightarrow \infty } \int f _{n}dm= \int fdm $$

Comments

میشه صورت قضیه رو بنویسید؟

Answer 1

اینجا یک مثال نقض داریم. دنباله $f_n$ را به صورت زیر در نظر بگیرید:

در اینصورت $f_n\to 0$ و اگر قرار دهیم $g_n=n\chi_{[0,\frac 1n]}$ در اینصورت $g_n\in L^1$ و $|f_n|\leq g_n$ در حالیکه $\require{cancel}\int f_n\cancel{\to} \int f$

Comments

@fardina
مرسی از پاسخ ولی هدف اثبات قضیه است وقتی شرط همگرایی دنباله gn وجود ندارد

---

@saeidpms
خوب مثال نقض آوردیم یعنی گزاره ای که بیان کردید درست نیست.