به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
99 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط komarsolimani

در قضیه همگرایی یکنوایی لبگ هرگاه شرط صعودی بودن را با نزولی بودن عوض کنیم چه شرطی لازم است تا تساوی زیر برقرار باشد؟

$$ \int \lim_{n \rightarrow \infty } f_{n} d \mu = \lim_{n \rightarrow \infty } \int f_{n} d \mu $$

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر به یاد داشته باشید یکی از ویژگی های یک اندازه $\mu$ پیوستگی از پایین آن بود یعنی اگر $$E_1\subset E_2\subset \cdots$$ مجموعه هایی اندازه پذیر باشند آنگاه $$\mu(\bigcup_1^\infty E_i)=\lim_{i\to \infty}\mu(E_i)$$

اما برای پیوستگی از بالا شرط متناهی بودن را قرار می دادیم یعنی اگر $$E_1\supset E_2\supset\cdots$$ و $\mu(E_n)< \infty$ (برای $n$ ی طبیعی) آنگاه $$\mu(\bigcap _1^\infty E_i)=\lim_{i\to \infty}\mu(E_i)$$

در اینجا هم می توانیستید حدث بزنید که مثلا اگر $\int f_1< \infty$ و $$f_1\geq f_1\geq \cdots$$ توابعی نامنفی باشند که به $f$ همگرایند آنگاه $$\int f_n\to \int f$$

با این شرط حالا سعی کنید مساله رو حل کنید و اگر باز مشکلی داشتید در دیدگاه من رو مطلع کنید.


توجه: شرط $\int f_n< \infty$ برای اندیسی مثل $n$ ضروری است. چرا که به عنوان مثال نقض اگر اندازه شمارشی $\mu$ را روی اعداد طبیعی د نظر بگیرید و توابع $f_n$ را به صورت $f_n=\chi_{\{n, n+1,\cdots\}}$ تعریف کنید( منظور از $\chi_A$ تابع مشخصه $A$ است) در اینصورت $f_n\to 0$ و $f_1\geq f_2\geq \cdots$ ولی $\lim\int f_n=\infty$ و $\int f=\int 0=0$ .

دارای دیدگاه توسط komarsolimani
–1
جوابمو گرفتم ممنون از لطفتون
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@komarsolimani پس چرا روی تیک سمت راست پاسخ کلیک نکردید تا پاسخ انتخاب شود؟

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...