به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
228 بازدید
در دانشگاه توسط komarsolimani (40 امتیاز)

در قضیه همگرایی یکنوایی لبگ هرگاه شرط صعودی بودن را با نزولی بودن عوض کنیم چه شرطی لازم است تا تساوی زیر برقرار باشد؟

$$ \int \lim_{n \rightarrow \infty } f_{n} d \mu = \lim_{n \rightarrow \infty } \int f_{n} d \mu $$

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina (15,227 امتیاز)

اگر به یاد داشته باشید یکی از ویژگی های یک اندازه $\mu$ پیوستگی از پایین آن بود یعنی اگر $$E_1\subset E_2\subset \cdots$$ مجموعه هایی اندازه پذیر باشند آنگاه $$\mu(\bigcup_1^\infty E_i)=\lim_{i\to \infty}\mu(E_i)$$

اما برای پیوستگی از بالا شرط متناهی بودن را قرار می دادیم یعنی اگر $$E_1\supset E_2\supset\cdots$$ و $\mu(E_n)< \infty$ (برای $n$ ی طبیعی) آنگاه $$\mu(\bigcap _1^\infty E_i)=\lim_{i\to \infty}\mu(E_i)$$

در اینجا هم می توانیستید حدث بزنید که مثلا اگر $\int f_1< \infty$ و $$f_1\geq f_1\geq \cdots$$ توابعی نامنفی باشند که به $f$ همگرایند آنگاه $$\int f_n\to \int f$$

با این شرط حالا سعی کنید مساله رو حل کنید و اگر باز مشکلی داشتید در دیدگاه من رو مطلع کنید.


توجه: شرط $\int f_n< \infty$ برای اندیسی مثل $n$ ضروری است. چرا که به عنوان مثال نقض اگر اندازه شمارشی $\mu$ را روی اعداد طبیعی د نظر بگیرید و توابع $f_n$ را به صورت $f_n=\chi_{\{n, n+1,\cdots\}}$ تعریف کنید( منظور از $\chi_A$ تابع مشخصه $A$ است) در اینصورت $f_n\to 0$ و $f_1\geq f_2\geq \cdots$ ولی $\lim\int f_n=\infty$ و $\int f=\int 0=0$ .

توسط komarsolimani (40 امتیاز)
–1
جوابمو گرفتم ممنون از لطفتون
توسط AmirHosein (9,531 امتیاز)
@komarsolimani پس چرا روی تیک سمت راست پاسخ کلیک نکردید تا پاسخ انتخاب شود؟

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...