یک زیر دنباله از $a_n$ یک دنباله مثل $b_n$ است به طوریکه $b_k=a_{n_k}$ که $n_1< n_2< \cdots $ یک دنباله اکیدا صعودی است.
به عنوان مثال اگر دنباله
$$a_1,a_2,a_3,\cdots $$
داده شده باشد در اینصورت
$$a_1,a_3, a_5,\cdots$$
و
$$a_2,a_5,a_8,\cdots$$
زیردنباله هایی از دنباله اول هستند. در زیر دنباله اول $n_1=1, n_2=3, n_3=5,\cdots$ و در زیردنباله دوم $n_1=2, n_2=5, n_3=8, \cdots$ .
اگر حالتی را در نظر بگیریم که مورد نظر شماست یعنی $n_k$ صعودی اکید نباشد در اینصورت اجازه داده ایم بعضی از اندیس ها یا حتی همه اندیس ها با هم برابر باشند. مثلا اگر
$$n_1=1,n_2=1,n_3=1,\cdots$$
در اینصورت زیردنباله ای که حاصل می شود به صورت
$$a_1,a_1,a_1,\cdots$$
خواهد بود که مطمئنا ان را به عنوان زیردنباله ای از $a_1,a_2,a_3,\cdots$ نمی پذیرید!
به عبارت دیگر یک زیر دنباله از حذف تعدادی از اعضای دنباله (یا هیچ عضوی از دنباله) بدون تغییر ترتیب حاصل شده است.
به عنوان یک مثال عددی فرض کنید دنباله $a_n$ به صورت $1, 2, 3, \cdots$ داده شده باشد. اگر دنباله $n_k$ صعودی باشد در اینصورت اجازه داده ایم بعضی از اندیس ها یا حتی همه ی اندیس ها با هم برابر باشند یعنی مثلا اگر $n_1=1\leq n_2=1\leq \cdots \leq n_k=1\leq \cdots$ در اینصورت زیر دنباله $a_{n_k}$ دنباله ثابت $1,1,1,\cdots$ خواهد بود که مطمئنا زیردنباله ای از $1, 2, 3, \cdots$ نیست! یا حتی اگر چند اندیس مساوی باشند در اینصورت دنباله هایی مثل
$1, 2, 2,2, 2, 3, 3 , 3 ,4, 5 , 6 , \cdots$ حاصل می شود که نمی توانند زیردنباله هایی از $1,2,3,\cdots$ باشند.
