اگر $f$ اکیدا صعودی و پوشا باشد آنگاه همئومورفیسم است.

Question

ثابت کنید چنانچه $f:\mathbb R\to \mathbb R$ اکیدا صعودی و پوشا باشد آنگاه یک همئومورفیسم است(یعنی یک دو سویی بوده و خودش و وارونش پیوسته خواهند شد)

Answer 1

پوشایی را که دارید. به خاطر افزایشیِ یکنوا بودنش، یک به یک نیز است. پس دو سویی بودن را داریم. چون یک تابع افزایشی یکنوای حقیقی که روی کل اعداد حقیقی تعریف شده‌باشد، ناپیوستگی‌هایش از نوع پرشی است، که باعث ناپوشایی نیز می‌شود، تابع‌تان پیوسته است. اکنون توجه کنید که وارون یک تابع افزایشی یکنوا، نیز افزایشی یکنوا است. به دلیل دوسویی بودن تابع‌تان، وارونش کل دامنهٔ تابع اولیه را می‌پوشاند که در اینجا $\mathbb{R}$ است و وارون، پوشا می‌شود. چون وارون‌تان نیز افزایشی یکنوا و پوشا و تعریف شده بر روی کل اعداد حقیقی است، پیوسته نیز می‌شود. پس یک وابرریختی دارید.

Answer 2

روش دیگر به کمک تعریف پیوستگی:

دوسویی بودن واضح است کافی است نشان دهیم تابع $f$ پیوسته است چون $f^{-1}$ شرایط مشابه $f$ دارد.

فرض کنید $x_0$ نقطه ای دلخواه باشد و $(y_1,y_2)$ بازه ای دلخواه شامل $f(x_0)$ . در اینصورت از پوشایی نقاط $x_1,x_2$ موجودند که $f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2$ در اینصورت برای هر $x\in(x_1,x_2)$ داریم $f(x)\in (f(x_1),f(x_2))=(y_1,y_2)$ لذا پیوسته است.