اگر به یاد داشته باشید یکی از ویژگی های یک اندازه $\mu$ پیوستگی از پایین آن بود یعنی اگر
$$E_1\subset E_2\subset \cdots$$ مجموعه هایی اندازه پذیر باشند آنگاه
$$\mu(\bigcup_1^\infty E_i)=\lim_{i\to \infty}\mu(E_i)$$
اما برای پیوستگی از بالا شرط متناهی بودن را قرار می دادیم یعنی اگر
$$E_1\supset E_2\supset\cdots$$
و $\mu(E_n)< \infty$ (برای $n$ ی طبیعی) آنگاه
$$\mu(\bigcap _1^\infty E_i)=\lim_{i\to \infty}\mu(E_i)$$
در اینجا هم می توانیستید حدث بزنید که مثلا اگر $\int f_1< \infty$ و
$$f_1\geq f_1\geq \cdots$$
توابعی نامنفی باشند که به $f$ همگرایند آنگاه
$$\int f_n\to \int f$$
با این شرط حالا سعی کنید مساله رو حل کنید و اگر باز مشکلی داشتید در دیدگاه من رو مطلع کنید.
توجه: شرط $\int f_n< \infty$ برای اندیسی مثل $n$ ضروری است. چرا که به عنوان مثال نقض اگر اندازه شمارشی $\mu$ را روی اعداد طبیعی د نظر بگیرید و توابع $f_n$ را به صورت $f_n=\chi_{\{n, n+1,\cdots\}}$ تعریف کنید( منظور از $\chi_A$ تابع مشخصه $A$ است) در اینصورت $f_n\to 0$ و $f_1\geq f_2\geq \cdots$ ولی $\lim\int f_n=\infty$ و $\int f=\int 0=0$ .
