به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
413 بازدید
در دانشگاه توسط

فرض کنید $ \mu (x) < \infty $ و $ ` f_n`$ دنباله ای از توابع اندازه پذیر مختلط کراندار بر x باشندو $f_n \rightarrow f$ به طور یکنواخت بر x. ثابت کنید $ \ \lim_{n \rightarrow \infty } \int_ x f_nd \mu = \int_ x fd \mu $ و نشان دهید شرط $ \mu (x) < \infty $ را نمی توان حذف کرد

مرجع: انالیز حقیقی و مختلط -والتر رودین-فصل 1- سوال 10

2 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina

از این نکته استفاده کنید:

اگر $f_n\to f$ (به طور یکنواخت) و هر $f_n$ کراندار باشد یعنی برای هر $n$ یک عدد حقیقی $M_n$ موجود باشد که برای هر $x$ داشته باشیم $|f_n(x)|\leq M_n$ آنگاه $\{f_n\}$ به طور یکنواخت کراندار است یعنی عدد حقیقی $M$ هست که $$|f_n(x)|\leq M$$

اگر از این نکته استفاده کنید در اینصورت $g(x)=M$ .

برای مثال نقض در حالت نامتناهی بودن فضای اندازه قرار دهید $X=[0,\infty)$ و $f_n=\frac 1n\chi_{[0, n)}$

+1 امتیاز
توسط
ویرایش شده

تقریبا ساده. چون دنباله توابع همگرای یکنواخته اپسیلون رو بگیر $ \frac{1}{2} \varepsilon \mu(x) ^{-1} $ حالا از خاصیت قدرمطلق از انتگرال استفاده کنیم داریم (از یه جایی به بعد)

$ \ | \int_X f_{n}- \int_X f \mid \leq \int_X \mid f_{n} -f \mid < \varepsilon $

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...