چه جوری می توان این تمرین را به قضیه همگرایی تسلطی لبگ نسبت داد یعنی تابع g رو چی در نظر بگیریم

Question

فرض کنید $ \mu (x) < \infty $ و $ ` f_n`$ دنباله ای از توابع اندازه پذیر مختلط کراندار بر x باشندو $f_n \rightarrow f$ به طور یکنواخت بر x. ثابت کنید $ \ \lim_{n \rightarrow \infty } \int_ x f_nd \mu = \int_ x fd \mu $ و نشان دهید شرط $ \mu (x) < \infty $ را نمی توان حذف کرد

Answer 1

از این نکته استفاده کنید:

اگر $f_n\to f$ (به طور یکنواخت) و هر $f_n$ کراندار باشد یعنی برای هر $n$ یک عدد حقیقی $M_n$ موجود باشد که برای هر $x$ داشته باشیم $|f_n(x)|\leq M_n$ آنگاه $\{f_n\}$ به طور یکنواخت کراندار است یعنی عدد حقیقی $M$ هست که $$|f_n(x)|\leq M$$

اگر از این نکته استفاده کنید در اینصورت $g(x)=M$ .

برای مثال نقض در حالت نامتناهی بودن فضای اندازه قرار دهید $X=[0,\infty)$ و $f_n=\frac 1n\chi_{[0, n)}$

Answer 2

تقریبا ساده. چون دنباله توابع همگرای یکنواخته اپسیلون رو بگیر $ \frac{1}{2} \varepsilon \mu(x) ^{-1} $ حالا از خاصیت قدرمطلق از انتگرال استفاده کنیم داریم (از یه جایی به بعد)

$ \ | \int_X f_{n}- \int_X f \mid \leq \int_X \mid f_{n} -f \mid < \varepsilon $