مثالی که همگرایی یکنواخت همگرایی در $L^p$ را نتیجه نمی دهد.

Question

$fn=n^{ \frac{-1}{p} } \chi _{[0,n]} $نشان دهید دنباله $ f_{n} $همگرای یکنواخت به تابع صفر است ولی همگرا در $l_{p} \big(R, \beta , \lambda \big) $نیست

$ \beta $برل وRمجموعه اعداد حقیقی

Answer 1

یادآوری: $f_n\to f$ روی $D$ به طور یکنواخت اگر و تنها اگر $\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_D=0$ .

که در ان $\|f_n-f\|_D=\sup\{\|f_n(x)-f(x)\|:x\in D\}$ .

فرض می کنیم که منظور شما $1\leq p< \infty $ باشد.

د راینجا هم کافی است توجه کنید که $\sup_x\|f_n(x)-0\|=n^{-\frac 1p}\to 0$ لذا به طور یکنواخت به صفر همگراست.

اما این همگرایی را در $L^p$ نداریم زیرا $\int_0^\infty |f_n-0|^p=1\neq 0$.