قضیه همگرایی یکنوا در حالت تقریبا متناهی

Question

اگر $ f_{n} \in L^{+} $ و $ \big(a.e\big) f_{n} \nearrow f $ آنگاه $ \int f =\lim_{n\to\infty} \int f_{n} $ .

Comments

این قضیه معروفی است به نام "قضیه همگرایی یکنوا" یا "Monotone Convergence Theorem" . مثلا برای اثباتش به کتاب فولند رجوع کنید. فصل دوم بخش بوم قضیه 2.14
http://books.google.com/books?id=wI4fAwAAQBAJ&pg=PT51&lpg=PT51&dq=2.14+the+monotone+convergence+theorem+folland&source
اگر در اثبات قضیه مشکل دارید باید تا جایی که متوجه میشید رو بنویسید و بعد من شاید بتونم کمکتون کنم. یا کاربران دیگر.

---

با عرض سلام
این قضیه در کتاب فولند در حالت کلی اومده اما در اینجا در حالت (a.e) بیان شده است. میخاستم فقط ببینم شیوه اثبات با حالت کلی فرق دارد.
تشکر

Answer 1

فرض کنید $ E $ مجموعه تمام نقاط $ x$ باشد که $ f_n(x) \nearrow f(x) $ در اینصورت بنابر فرض $\mu(E^c)=0 $ . حال قرار دهید $g_n=f_n\chi_E $ و $ g=f\chi_E $ . در اینصورت $g_n \nearrow g $ همه جا. لذا بنابر قضیه همگرایی یکنوا داریم : $$ \lim_{n\to\infty} \int g_n=\int g $$ که از این هم نتیجه می شود $\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f $ (چرا؟)