می توانید نشان دهید
$$\int_1^\infty \int_1^\infty |\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}|dxdy=\infty$$
در واقع
$$\begin{align}\int_1^\infty \int_1^\infty |\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}|dxdy&=\int_1^\infty(\int_1^y \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dx+\int_y^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dx)dy\\
&=\int_1^\infty(\frac{x}{x^2+y^2}|_1^y+\frac{-x}{x^2+y^2}|_y^\infty)dy\\
&=\int_1^\infty(\frac{y}{2y^2}-\frac{1}{1+y^2}+0+\frac{y}{2y^2})dy\\
&=\int_1^\infty (\frac 1y-\frac{1}{1+y^2})dy\\
&=\int_1^\infty \frac 1ydy+\int_1^\infty \frac{1}{1+y^2}dy\\
&=\infty
\end{align}$$
یعنی انتگرال پذیر نیست و
$$\int_1^\infty \int_1^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx=-\frac\pi4\\
\int_1^\infty \int_1^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dxdy=\frac\pi4$$
مثلا برای انتگرال اولی داریم:
$$\begin{align}\int_1^\infty \int_1^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx&=\int_1^\infty(\frac{y}{x^2+y^2}|_1^\infty)dx\\
&=\int_1^\infty(-\frac 1{1+x^2})dx\\
&=-\tan^{-1}x|_1^\infty\\
&=-\frac\pi2+\frac\pi4\\
&=-\frac \pi 4\end{align}$$
