این قضیه رو میتونید در همه کتاب های آنالیزی پیدا کنید. باید میگفتید در کجا مشکل دارید.
چون $f$ و بازه $[a, b]$ فشرده، لذا پیوستگی یکنواخت است. یعنی
$$\forall\varepsilon> 0\quad\exists \delta>0\quad s.t. \quad |x-y|< \delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|< \frac{\varepsilon}{b-a+1}$$
اگر $P_\varepsilon=(y_0=a,y_1,...,y_n=b)$ را افرازی از $[a, b]$ بگیریم که $\|P_\varepsilon\|< \delta$ که در آن $\|P_\varepsilon\|=\max_{1\leq k\leq n}(x_k-x_{k-1})$ در اینصورت برابر هر افراز ظریفتر از $P_\varepsilon$ مانند $P=(x_0=a,x_1,...,x_n=b)$ اگر $x,y\in [x_{i-1},x_i]$ در اینصورت $|x-y|\leq x_i-x_{i-1}< \delta$ لذا
$$M_i-m_i=\sup\{|f(x)-f(y)|:x,y\in[x_{i-1,x_i}\}\leq \frac{\varepsilon}{b-a+1}$$
که در آن $M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x)$ و
$ m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x) $ .
در اینصورت خواهیم داشت:
$$U(p,f)-L(p,f)=\sum_1^n(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\leq \frac{\varepsilon}{b-a+1}\sum_1^n(x_i-x_{i-1})=\frac{\varepsilon(b-a)}{b-a+1}< \varepsilon$$
لذا حکم ثابت شد.
