ابتدا لازمه که Essential Supremum (سوپریمم ذاتی) را تعریف کنیم. فرض کنید $(X, \mu)$ فضای اندازه باشد.
سوپریمم ذاتی $f:X\to \overline{\mathbb R}$ عبارت است از کوچکترین عدد ثابتی که تقریبا همه جا $f$ را مغلوب می کند یعنی
$$ess sup_{x\in X} f(x) =\inf\lbrace M: f\leq M\ a.e.\rbrace$$
توجه کنید که عبارت $f\leq M\ a.e.$ یعنی اندازه مجموعه
$\lbrace x: f(x) > M\rbrace$ برابر صفر باشد $\mu(\lbrace x: f(x) > M\rbrace)=0$
نرم- $L^\infty$ توابع $f:X\to \overline{\mathbb R}$ یا $f:X\to \mathbb C$ به صورت سوپریمم اساسی قدر مطلق آنها تعریف می شود یعنی
$$\|f\|_\infty =ess sup_{x\in X}|f(x)|=\inf\lbrace M: |f(x)|\leq M\ a.e.\rbrace$$
مجموعه $L^\infty(X)$
یعنی $$L^\infty(X)=\lbrace f:X\to \mathbb C : f\ is\ measurable ,\|f\|_\infty< \infty\rbrace $$
را در نظر بگیرید. در اینصورت می توان ثابت کرد که $\|.\|_\infty$ یک شبه نرم (seminorm) روی $L^\infty(X)$ است(چرا؟)
ما می دانیم که با داشتن یک شبه نرم همیشه می توان یک نرم ساخت به این صورت که اگر $\|.\|$ یک شبه نرم روی فضای برداری $X$ باشد(یعنی تمام ویژگیهای نرم را داشته باشد به جز اینکه از $\|x\|=0$ نتوان نتیجه گرفت که $x=0$ ) در اینصورت رابطه هم ارزی $\sim$ را روی $X$ به صورت $$x,y\in X\quad x\sim y\iff \|x-y\|=0$$ تعریف می کنیم. حال روی مجموعه همه کلاس های هم ارزی یعنی $ \widetilde{X} =\frac{X}{\sim}=\lbrace [x]:x\in X\rbrace$ یک نرم تعریف می کنیم به این صورت: $\widetilde{\|[x]\|} =\|x\|$ . یعنی $(\widetilde {X}, \widetilde{\|.\|}) $ یک فضای نرمدار است.(چرا؟)
خوب حالا ما مجموعه $L^\infty(X)$ رو داریم که یک فضای برداری است و $\|.\|_\infty$ یک شبه نرم روی آن است. پس با توجه به نکته بالا می توان با تعریف رابطه هم ارزی $$f,g\in L^\infty(X)\quad f\sim g\iff \|f-g\|_\infty=0\iff f=g\ a.e.$$ (یعنی توابعی را که تقریبا همه جا با هم برابر هستند هم ارز در نظر میگیریم) به یک نرم روی $\widetilde{L^\infty}(X)=\frac{L^\infty(X)}{\sim}$ با تعریف $\widetilde{\|[f]\|}=\|f\|_\infty $ می رسیم.
و در کتاب های آنالیزی به جای نوشتن $\widetilde{L^\infty}(X)$ به طور ساده می نویسیم $L^\infty(X)$ و اعضای آن که به صورت کلاس هم ارزی هستند $[f]$ را به طور ساده با $f$ نمایش می دهیم. یعنی هر جا که $L^\infty(X)$ رو دیدید باید بدونید که منظور $\widetilde{L^\infty}(X)$ است. پس اگر دو تابع $f, g$ که تقریبا همه جا با هم برابر هستند را در نظر بگیرید در اینصورت $f,g$ اعضای یکسانی از $L^\infty(X)$ هستند. در حالت خاص هر تابعی که تقریبا همه جا صفر است برابر است با بردار صفر در $L^\infty(X)$ .
حالا در سوال شما فقط کافیه $X=[0, T]$ با اندازه لبگ در نظر بگیرید.
