اگر$f : X \rightarrow R$ انتگرال پذیر باشد نشان دهید$f$بر هر زیرمجموعه اندازه پذیر از$X$ نیز انتگرال پذیر است و ...

Question

اگر $f : X \rightarrow R$ انتگرال پذیر باشد نشان دهید $f$ بر هر زیرمجموعه اندازه پذیر از $X$ مانند $E$ نیز انتگرال پذیر است و داریم :

$$\int _{X} f d \mu = \int_{E} f d \mu + \int_{ E^{c} } f d \mu$$

Comments

لطفا عنوان مناسبی برای سوالات خود انتخاب نمایید. عنوان کلی «انتگرال گیری» بیانگر دقیق سوال نیست برای اینکار بهتر است متن خود سوال را بنویسید.

Answer 1

برای هر $E$ اندازه پذیر داریم

$$\int_E|f|d\mu=\int |f|\chi_Ed\mu\leq\int|f|d\mu< \infty$$

پس $f$ روی $E$ نیز انتگرال پذیر است.

و از خطی بودن انتگرال یعنی $\int(af+bg)d\mu=a\int fd\mu+b\int gd\mu$ داریم:

$$\begin{align}\int_Efd\mu+\int_{E^c}d\mu&=\int f\chi_Ed\mu+\int f\chi_{E^c}d\mu\\ &=\int (f\chi_E+f\chi_{E^c})d\mu\\ &=\int f(\chi_E+\chi_{E^c})d\mu\\ &=\int f\chi_{E\cup E^c}d\mu\\ &=\int f\chi_Xd\mu\\ &=\int_X fd\mu\end{align}$$