برای هر $E$ اندازه پذیر داریم
$$\int_E|f|d\mu=\int |f|\chi_Ed\mu\leq\int|f|d\mu< \infty$$
پس $f$ روی $E$ نیز انتگرال پذیر است.
و از خطی بودن انتگرال یعنی $\int(af+bg)d\mu=a\int fd\mu+b\int gd\mu$ داریم:
$$\begin{align}\int_Efd\mu+\int_{E^c}d\mu&=\int f\chi_Ed\mu+\int f\chi_{E^c}d\mu\\
&=\int (f\chi_E+f\chi_{E^c})d\mu\\
&=\int f(\chi_E+\chi_{E^c})d\mu\\
&=\int f\chi_{E\cup E^c}d\mu\\
&=\int f\chi_Xd\mu\\
&=\int_X fd\mu\end{align}$$
