اگر به ازای هرمجموعه اندازه پذیر $A$ داشته باشیم $\int_Af=0$ آنگاه $f=0$ تقریبا همه جا

Question

هر گاه $f:(X,\mathcal A)\to \mathbb R$اندازه پذیر باشد. و $\forall A\in\mathcal A$داشته باشیم $ \int_A fd \mu =0 $ آنگاه$f=0\ a.e $

Answer 1

اگر به این سوال نگاه کنید:

اگر به ازای هر $E$ داشته باشیم $\int_Ef=\int_Eg$ آنگاه تقریبا همه جا $f=g$

در اونجا ثابت شده اگر $f,g:(X,\mathcal A,\mu)\to\overline{\mathbb R}$ اندازه پذیر باشند در اینصورت

$\int_Af=\int_Ag$ به ازای هر $A\in\mathcal A$ اگر و تنها اگر $f=g\ a.e$

در اینجا اگر قرار دهید $g=0$ در اینصورت به ازای هر $A\in\mathcal A$ طبق فرض $\int_Af=0=\int_Ag$ و بنابراین $f=g=0\ a.e$