ثابت کنید $\int f=0$ اگر و تنها اگر تقریبا همه جا $f=0$

Question

فرض کنید$ f $یک تابع نامنفی اندازه پذیر باشد. ثابت کنید $ \int_Xfd \mu =0 $ اگر و تنها اگر $ f=0 \ \ a.e $(تقریبا همه جا صفر باشد).

به عنوان یک نتیجه نشان دهید اگر $(X, M , \mu ) $ یک فضای اندازه باشد. و $ f, g $ دو تابع انتگرال پذیرنامنفی در $ X $ ، سپس $ \int_E f d \mu = \int_Eg d \mu $برای هر $E \in M $ اگر و تنهااگر $ \int_X |f-g|d \mu =0 $ اگر و تنها اگر $ f=g\ \ a.e. $

Answer 1

در کتاب آنالیز حقیقی فولند فصل دوم گزاره 16 ثابت شده است.

همچنین میتونید این سوالاتو ببینید:

http://math.irancircle.com/4755

http://math.irancircle.com/967

http://math.irancircle.com/5440