حاصل حد دنباله ی $a_n$ به طوری که رابطه $S_n+a_{n+1}=S_na_{n+1}$ را دارا است .

Question

فرض کنید $a_n$ دنباله ایی از اعدادحقیقی باشد و داشته باشیم برای هر $n \in \mathbb{N}$ :

$$\sum_{i=1}^na_i=\prod_{i=1}^na_i$$

انگاه حاصل حد زیر چیست ؟

$$\lim_{n \to \infty} a_n$$

تلاش من :

$$S_n + a_{n+1} = \left( \sum_{k=1}^n a_k \right) + a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} a_k = \prod_{k=1}^{n+1} a_k = \left( \prod_{k=1}^n a_k \right) a_{n+1} = S_n a_{n+1}$$

پس رابطه زیر را بدست اوردیم :

$$S_n+a_{n+1}=S_na_{n+1}$$

حالا باید چکار کنم ؟ ممنون میشم کمک کنید .

Answer 1

رابطه را به صورت زیر مینویسیم :

$$S_{n-1}+a_{n}=S_{n-1}a_{n}$$ $$a_{n}=1+\dfrac{1}{S_{n-1}-1} : n \geq 2 \ \ a_1=a \in\mathbb{R}$$

---

$$ \text{case 1} :S_1=a_1=a > 1 \\ a_2=1+\dfrac{1}{S_1-1} > 1 \\a_3=1+\dfrac{1}{S_2-1} > 1\\.\\.\\. \\ a_n=1+\dfrac{1}{S_{n-1}-1} > 1$$

نتیجه میگیریم که :

$$S_{n-1}=a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1} > n-1$$ $$S_{n-1}-1 > n-2 \Rightarrow \dfrac{1}{S_{n-1}-1} < \dfrac{1}{n-2}\\ 1+\dfrac{1}{S_{n-1}-1} < \dfrac{1}{n-2}+1 \\ 1 < a_{n} < \dfrac{1}{n-2}+1 $$

حال طبق قضیه ساندویچ داریم :

$$\lim_{n}1=1=\lim_{n} \dfrac{1}{n-2}+1 \Rightarrow \lim_{n}a_n=1$$

---

$$ \text{case 2} :S_1=a_1=a < 1 \\ S_2=\dfrac{S_1^2}{S_1-1} \leq 0 \\S_3=\dfrac{S_2^2}{S_{2}-1} \leq 0 \\.\\.\\. \\ S_n=a_1+...+a_{n-1}+a_n=S_{n-1}+\dfrac{S_{n-1}}{S_{n-1}-1}=\dfrac{S_{n-1}^2}{S_{n-1}-1} \leq 0 : n\geq 2$$

حال تابع $f$ را باضابطه ی زیر تعریف میکنیم :

$$f(x)=\dfrac{x^2}{x-1} \ \ : x \leq 0$$ که ثابت میشود تابع صعودی است در نتیجه $S_n$ دنباله ای صعودی برای $n\geq3$ است . و میدانیم که تابع صعودی و کراندار همگراست در نتیجه خواهیم داشت :

$$\lim_{n}S_n=\lim_{n}S_{n-1}=l$$ $$\lim_{n}S_n=\lim_{n} \dfrac{S_{n-1}^2}{S_{n-1}-1}\\l=\dfrac{l^2}{l-1} \Rightarrow l=0$$

در نتیجه حاصل حد برابر است با :

$$\lim_{n} a_n=\lim_{n}(S_n-S_{n-1})=0-0=0$$

---

$$\text{case 3} : a_1=1$$

با توجه به رابطه بدست امده اگر جمله ی اول برابر یک باشد انگاه $a_n$ دنباله نیست .

$$S_{1}+a_{2}=S_{1}a_{2} \Rightarrow 1+a_2\neq a_2 $$

Answer 2

اگه $ S_{n} $ همگرا باشه اونوقت $ \lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty } S_{n} - S_{n-1} =0$.

اگه $ S_{n} $ واگرا باشه یعنی $ \lim_{n \rightarrow \infty } S_{n} = \infty $ اونوقت طبق رابطه ای که به دست آوردین داریم

$$S_{n-1}+a_{n}=S_{n-1}a_{n}$$

و بنابراین

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ a_{n} -1}{ a_{n} }= \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{ S_{n-1} } =0 $$

پس

$$ \lim_{n \rightarrow \infty }a_{n} =1$$.