قوانین توان $(a^{x}) ^{y} = a^{xy}$

Question

یه سوال پیش میاد که $(a^{x}) ^{y} = a^{xy}$ چه وقت خوشتعریفه؟!!!!!!!!!!!!

Comments

الان سوال شما چ ربطی به پاسخ اون سوال داشت؟

Answer 1

برای توضیح این مطلب مرحله مرحله پیش میرویم.

ابتدا اگر توانها اعداد صحیح باشند آنگاه برای هر $m,n$ و هر عدد ناصفر $a$ داریم:

$$(a^{n} ) ^{m} = a^{mn}$$ اما اگر بخواهیم توانها را اعداد گویا در نظر بگیریم دامنه ی تعریف رابطه به پایه مثبت تغییر مییابد یعنی برای هر $a > 0$ داریم: $$(a^{x} ) ^{y} = a^{xy}$$ با یک مثال ساده مشکلی که در هنگام استفاده از پایه ی منفی پیش می آید را نشان میدهم: $$-3=((-3)^{2} )^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{(-3)^{2} } = \sqrt{9} =3$$ که بوضوح غلط است.

در مرحله ی آخر برای هر عدد حقیقی دنباله ای از اعداد گویا که به آن عدد میل می کنند وجود دارد و با تعریف زیر نحوه محاسبه اعداد با توان عد د حقیقی بدست می آید.

$$a^{x} = \lim_{r \rightarrow x} a^{r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (r \in Q)$$

در واقع از پیوستگی تابع $f(r)= a^{r}$ استفاده میکنیم. . که این تابع فقط زمانی توسیع پیوسته ای (یکتا است) به تمام اعداد حقیقی دارد که پایه مثبت باشد.

لذا درکل رابطه ی بالا زمانی برای تمام اعداد دلخواه $x,y$ برقرار است که پایه مثبت باشد.