اگر $ a^{n} =a^{m} $ ثابت کنید $n=m$

Question

$ a^{n} =a^{m} $

ثابت كنيد كه$n=m$

Answer 1

اولا همیشه چنین چیزی درست نیست و باید $a \neq 0 $ و $a \neq 1$ باشد حال فرض $a \neq 0 $ باشد دو حالت داریم یا $ a > 0 $و $a \neq 1$ یا $ a < 0 $و $a \neq 1$ فرض کنید $ a > 0 $و $a \neq 1$ باشد

$ log _{a} $ یک تابع است لذا به ازای هر ورودی فقط و فقط یک خروجی دارد و به ازای ورودی $ a^{n} $ خروجی $n$ را داریم و به ازای همان مقدار ورودی یعنی $ a^{m} $ خروجی $ m $ را داریم و از آنجایی که یک خروجی دارد لذا باید $n=m $باشد.

برای حالت دوم از آنجایی که $ a^{n}=a^{m} $ لذا $ \mid a^{n} \mid = \mid a^{m} \mid $ یعنی $ \mid a \mid ^{n}= \mid a \mid ^{m} $ حال قرار می دهیم $b= \mid a \mid $ پس داریم: $ b^{n}=b^{m} $ که در آن $ b > 0 $و $b \neq 1$ و طبق حالت اول باید $n=m $ باشد.

---

اگر $ a $ منفی باشد آنگاه قرار می دهیم $ a= - \mid a \mid $ و با جایگذاری خواهیم داشت

$ a^{n}=a^{m} \Rightarrow (-1)^{n} (\mid a \mid)^{n}=(-1)^{m}(\mid a \mid)^{m} $ و از آنجایی که علامت دو طرف یکی است لذا $(-1)^{n}=(-1)^{m}$ و با حذف از طرفین $(\mid a \mid)^{n}=(\mid a \mid)^{m}$ را خواهیم داشت و مانند حالت های بالا حکم ثابت می شود.

Comments

@erfanm

شما گفتيد:$ (-1)^{m} = (-1)^{n} $  $m=n \longleftarrow $

پس اينا چطوري توجيه ميشه !! $ (-1)^{2} = (-1)^{4} $

$4 \neq 2$

و در آخر اينكه در حال كلي اين رابطه ($ a^{n} = a^{m} $  $n=m \longleftarrow $)در چه
 حالتي برقراره؟؟؟
ممنون

---

من چیزی که نوشتید رو نگفتم
لطفا با دقت بیشتری ملاحظه بفرمایید.

---

ممنون بابت پاسخ جامعتون. فقط اینکه لگاریتم یک تابع هست  از همین نکته نتیجه نمیشه؟

---

همونیه که شما فرمودید فقط باید دامنه لگاریتم رو هم در نظر بگیریم
پس اگر $a$ منفی باشه نمیتوان راحت لگاریتم گرفت

---

خب ما از تابع بودن لگاریتم برای اثبات این حکم استفاده کردیم ؛ در حالیکه برای اثبات تابع بودن لگاریتم دقیقا باید از این حکم استفاده کنیم!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!