به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
297 بازدید
در دبیرستان توسط asal4567 (961 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

$ a^{n} =a^{m} $

ثابت كنيد كه$n=m$

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm

اولا همیشه چنین چیزی درست نیست و باید $a \neq 0 $ و $a \neq 1$ باشد حال فرض $a \neq 0 $ باشد دو حالت داریم یا $ a > 0 $و $a \neq 1$ یا $ a < 0 $و $a \neq 1$ فرض کنید $ a > 0 $و $a \neq 1$ باشد

$ log _{a} $ یک تابع است لذا به ازای هر ورودی فقط و فقط یک خروجی دارد و به ازای ورودی $ a^{n} $ خروجی $n$ را داریم و به ازای همان مقدار ورودی یعنی $ a^{m} $ خروجی $ m $ را داریم و از آنجایی که یک خروجی دارد لذا باید $n=m $باشد.

برای حالت دوم از آنجایی که $ a^{n}=a^{m} $ لذا $ \mid a^{n} \mid = \mid a^{m} \mid $ یعنی $ \mid a \mid ^{n}= \mid a \mid ^{m} $ حال قرار می دهیم $b= \mid a \mid $ پس داریم: $ b^{n}=b^{m} $ که در آن $ b > 0 $و $b \neq 1$ و طبق حالت اول باید $n=m $ باشد.


اگر $ a $ منفی باشد آنگاه قرار می دهیم $ a= - \mid a \mid $ و با جایگذاری خواهیم داشت

$ a^{n}=a^{m} \Rightarrow (-1)^{n} (\mid a \mid)^{n}=(-1)^{m}(\mid a \mid)^{m} $ و از آنجایی که علامت دو طرف یکی است لذا $(-1)^{n}=(-1)^{m}$ و با حذف از طرفین $(\mid a \mid)^{n}=(\mid a \mid)^{m}$ را خواهیم داشت و مانند حالت های بالا حکم ثابت می شود.

توسط amirm20 (1,111 امتیاز)
@erfanm

شما گفتيد:$ (-1)^{m} = (-1)^{n} $  $m=n \longleftarrow $

پس اينا چطوري توجيه ميشه !! $ (-1)^{2} = (-1)^{4} $

$4 \neq 2$

و در آخر اينكه در حال كلي اين رابطه ($ a^{n} = a^{m} $  $n=m \longleftarrow $)در چه
 حالتي برقراره؟؟؟
ممنون
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
من چیزی که نوشتید رو نگفتم
لطفا با دقت بیشتری ملاحظه بفرمایید.
توسط M.B (556 امتیاز)
+1
ممنون بابت پاسخ جامعتون. فقط اینکه لگاریتم یک تابع هست  از همین نکته نتیجه نمیشه؟
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
همونیه که شما فرمودید فقط باید دامنه لگاریتم رو هم در نظر بگیریم
پس اگر $a$ منفی باشه نمیتوان راحت لگاریتم گرفت
توسط M.B (556 امتیاز)
خب ما از تابع بودن لگاریتم برای اثبات این حکم استفاده کردیم ؛ در حالیکه برای اثبات تابع بودن لگاریتم دقیقا باید از این حکم استفاده کنیم!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...