اگر $a^{n} =a^{m}$ ثابت کنید $n=m$

Question

$a^{n} =a^{m}$

ثابت كنيد كه$n=m$

Answer 1

اولا همیشه چنین چیزی درست نیست و باید $a \neq 0$ و $a \neq 1$ باشد حال فرض $a \neq 0$ باشد دو حالت داریم یا $a > 0$و $a \neq 1$ یا $a < 0$و $a \neq 1$ فرض کنید $a > 0$و $a \neq 1$ باشد

$log _{a}$ یک تابع است لذا به ازای هر ورودی فقط و فقط یک خروجی دارد و به ازای ورودی $a^{n}$ خروجی $n$ را داریم و به ازای همان مقدار ورودی یعنی $a^{m}$ خروجی $m$ را داریم و از آنجایی که یک خروجی دارد لذا باید $n=m$باشد.

برای حالت دوم از آنجایی که $a^{n}=a^{m}$ لذا $\mid a^{n} \mid = \mid a^{m} \mid$ یعنی $\mid a \mid ^{n}= \mid a \mid ^{m}$ حال قرار می دهیم $b= \mid a \mid$ پس داریم: $b^{n}=b^{m}$ که در آن $b > 0$و $b \neq 1$ و طبق حالت اول باید $n=m$ باشد.

---

اگر $a$ منفی باشد آنگاه قرار می دهیم $a= - \mid a \mid$ و با جایگذاری خواهیم داشت

$a^{n}=a^{m} \Rightarrow (-1)^{n} (\mid a \mid)^{n}=(-1)^{m}(\mid a \mid)^{m}$ و از آنجایی که علامت دو طرف یکی است لذا $(-1)^{n}=(-1)^{m}$ و با حذف از طرفین $(\mid a \mid)^{n}=(\mid a \mid)^{m}$ را خواهیم داشت و مانند حالت های بالا حکم ثابت می شود.

Comments

@erfanm

شما گفتيد:$(-1)^{m} = (-1)^{n}$  $m=n \longleftarrow$

پس اينا چطوري توجيه ميشه !! $(-1)^{2} = (-1)^{4}$

$4 \neq 2$

و در آخر اينكه در حال كلي اين رابطه ($a^{n} = a^{m}$  $n=m \longleftarrow$)در چه
 حالتي برقراره؟؟؟
ممنون

---

من چیزی که نوشتید رو نگفتم
لطفا با دقت بیشتری ملاحظه بفرمایید.

---

ممنون بابت پاسخ جامعتون. فقط اینکه لگاریتم یک تابع هست  از همین نکته نتیجه نمیشه؟

---

همونیه که شما فرمودید فقط باید دامنه لگاریتم رو هم در نظر بگیریم
پس اگر $a$ منفی باشه نمیتوان راحت لگاریتم گرفت

---

خب ما از تابع بودن لگاریتم برای اثبات این حکم استفاده کردیم ؛ در حالیکه برای اثبات تابع بودن لگاریتم دقیقا باید از این حکم استفاده کنیم!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!