اولا همیشه چنین چیزی درست نیست و باید $a \neq 0 $ و $a \neq 1$ باشد حال فرض
$a \neq 0 $ باشد دو حالت داریم یا $ a > 0 $و $a \neq 1$ یا $ a < 0 $و $a \neq 1$ فرض کنید $ a > 0 $و $a \neq 1$ باشد
$ log _{a} $ یک تابع است لذا به ازای هر ورودی فقط و فقط یک خروجی دارد و به ازای ورودی $ a^{n} $ خروجی $n$ را داریم و به ازای همان مقدار ورودی یعنی $ a^{m} $ خروجی $ m $ را داریم و از آنجایی که یک خروجی دارد لذا باید $n=m $باشد.
برای حالت دوم از آنجایی که $ a^{n}=a^{m} $ لذا $ \mid a^{n} \mid = \mid a^{m} \mid $ یعنی
$ \mid a \mid ^{n}= \mid a \mid ^{m} $ حال قرار می دهیم $b= \mid a \mid $ پس داریم:
$ b^{n}=b^{m} $ که در آن $ b > 0 $و $b \neq 1$ و طبق حالت اول باید $n=m $ باشد.
اگر $ a $ منفی باشد آنگاه قرار می دهیم $ a= - \mid a \mid $ و با جایگذاری خواهیم داشت
$ a^{n}=a^{m} \Rightarrow (-1)^{n} (\mid a \mid)^{n}=(-1)^{m}(\mid a \mid)^{m} $
و از آنجایی که علامت دو طرف یکی است لذا $(-1)^{n}=(-1)^{m}$ و با حذف از طرفین $(\mid a \mid)^{n}=(\mid a \mid)^{m}$ را خواهیم داشت
و مانند حالت های بالا حکم ثابت می شود.
