حاصل حد تابع $x_n$ را پیدا کنید به طوری که $x_{n+1}=\sqrt{x_n}+\sqrt{x_{n-1}}$

Question

فرض کنید $x_1 > 0 ,x_0 > 0$ باشد و همچنین $x_{n+1}=\sqrt{x_n}+\sqrt{x_{n-1}}$ آنگاه حاصل حد زیر را پیدا کنید :

$\lim_{n \to \infty}=?$

با تشکر .

Comments

منظورتان دنباله است نه تابع! در فرمول حد دار هم حد هیچی منظورتان نیست! $x_n$ را جا انداخته‌اید. واژه‌ها و علامت‌ها در ریاضی معنا دارند با اشتباه نوشتن یا جا انداختن آنها می‌توانید گزاره‌ای بی‌معنا یا نادرست یا متفاوت داشته باشید!

Answer 1

چون حد دنباله را خواسته‌اند پس فرض بر این است که دنباله حد داشته‌باشد. حد یک دنباله در صورت وجود یکتاست و تمام زیردنباله‌هایش نیز دارای حد و همگرا به حد دنبالهٔ اصلی خواهند شد. پس اگر زیردنبالهٔ حاصل از رها کردن فقط جملهٔ یکم یا دو جملهٔ نخست را نیز در نظر بگیریم آن دو نیز به همان حد دنبالهٔ اصلی همگرا می‌شوند. پس اگر حد دنبالهٔ اصلی را $\ell$ نمایش دهیم آنگاه با حد گرفتن از طرفین رابطهٔ داده شده داریم: $$\ell=\sqrt{\ell}+\sqrt{\ell}\Longrightarrow \ell^2-2\ell=0\Longrightarrow \ell(\ell-2)=0$$ پس حد دنباله یا صفر است یا دو. اکنون از فرض‌هایی که هنوز استفاده نکرده بودیم یعنی دانستن اینکه دو جملهٔ نخست دنباله مثبت هستند استفاده می‌کنیم. با استقرای ریاضی ثابت می‌کنیم که هر جملهٔ دنباله مثبت است و در نتیجه حد دنباله نیز باید مثبت باشد. گام آغاز استقرا چون $x_1$ و $x_2$ هر دو مثبت هستند (من اندیس‌هایم را از یک شروع کردم پس با اندیس‌گذاری شما فقط کافیست اندیس‌ها را یکی پس (عقب) بکشید) پس جذرهایشان ناصفر و در نتیجه $x_2$ جمع دو مقدار مثبت است که مثبت می‌شود. اکنون فرض کنیم $x_{n-2}$ و $x_{n-1}$ مثبت باشند باید ثابت کنیم که $x_n$ نیز مثبت است. که این نیز همسان گام آغازین استقرا انجام می‌شود. در نتیجه $\ell=2$.