در دنبالهٔ بازگشتی با ضابطهٔ آمده در متن پرسش، حاصلِ $x_{1399}+x_{1400}+x_{1401}$ را بیابید.

Question

دنبالهٔ $x_n$ به صورت زیر تعریف می‌شود.

\begin{align} x_1 &= 22\\ x_{n+1} &= \begin{cases} \frac{ x_{n} }{2} &;\;\text{ اگر }x_n\text{ زوج بود }\\ 3x_{n} +1 &;\;\text{ اگر }x_n\text{ فرد بود } \end{cases} \end{align}

مجموع زیر را بیابید. $$ x_{1399} +x_{1400} + x_{1401} $$

Answer 1

با شرط های داده شده $x_2$ می شود 11و $x_3$ چون 11 فرد است میشود 34 و به همین ترتیب جملات میشوند :

$22,11,34,17,52,26$

بعداز اینکه 52 زوج شد 26 هم زوج است پس بعدی 13 میشودو در ادامه

$$22,11,34,17,\color{yellow}{52,26,13},40,20,10,5,16,8\color{blue}{,4,2,1},\color{green}{4,2,1},...$$

همان طوری که مشخص است در ادامه سیکل بوجود می آید جمله چهاردهم باکسر 13(تعداد جملات قبلی)از این اندیس ودر تقسیم بر 3 باقیمانده یک وجمله بعدی باقیمانده 2 و بعدی باقیمانده صفر است به این ترتیب مثلا جمله 1399 اُم با کسر 13 از این اندیس و تقسیم بر 3 باقیمانده صفر میشود و به همین ترتیب :

$$\color{red} {x_{1399}+ x_{1400}+x_{1401}=1+4+2=7} $$

Comments

amir7788@ پاسخ را ملاحظه بفرمایید