Question

آیا دنباله‌های زیر را میتوان تعمیمی بر دنباله فیبوناچی دانست؟ اگر آری چه فرمول کلی را میتوان برآن نوشت و رابطه بازگشتی کلی دارد یاخیر؟

$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...$

$0,0,1,1,2,4,7,13,24,44,...$

$0,0,0,1,1,2,4,8,15,29,56,...$

$.............................$

دوستان حتماً توجه دارند که در ردیف اول هر عدد مجموع دو عدد قبلی‌ست که به دنباله فیبوناچی معروف است، در ردیف دوم هرعدد مجموع سه عدد قبلی، در ردیف سوم هر عدد مجموع چهار عدد قبلی و در ردیف $n$ ام هر عدد مجموع $n+1$ عدد قبلی هست. با سپاس پیشاپیش.

Answer 1

دنبالۀ فیبوناجی را با شروع از $1$ میگیرند یعنی:

$F_1:=1,F_2:=1,F_n:=F_{n-1}+F_{n-2} (n>2)$

حالا اگر دنبالۀ اول را فیبوناجی بگیریم باید از صفر شروع کنیم:

$F_0:=0,F_1:=1,F_2:=1,F_n:=F_{n-1}+F_{n-2} (n>2)$

حالا اگر دنبالۀ اول با شروع از $1$ در نظر بگیرید دیگردنبالۀ فیبوناجی نیست.

در مورد دو دنبالۀ آخر فرمول باز گشتی دنباله ها با از شروع از $1$ به ترتیب چنین است:

$a_1:=0,a_2=0,a_3=1,a_n:=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{-3}(n>3)$

$b_1:=0,b_2:=0,b_3:=0,b_4:=1,b_n=b_{n-1}+b_{n-2}+b_{n-3}+b_{n-4}(n>4)$

برای شروع از صفر روابطی مشابه روابط اخیر را داریم.

می توان دنباله ها را تعمیمی از فیبوناجی خواند.

می توان به کمک استقراء ریاضی نشان داد که برای دنباله فیبوناجی:

$F_n= \frac{( \frac{1+ \sqrt{5} }{2} )^n-(\frac{1- \sqrt{5} }{2})^n}{ \sqrt{5} } (n \geq 0)$

که در واقع $\frac{1+\sqrt{5} }{2}$ همان عدد زیبای طلایی است.

$ \Box $

Comments

@قاسم شبرنگ : با سپاس از استاد گرامی. آیا جمله عمومی هریک از دنباله‌ها وجود دارد؟ درحالت تعمیم یافته دنباله فیبوناچی چطور؟

---

برای دنباله فیبوناجی جمله عمومی را به جواب اضافه کردم.برای دنباله های دیگر باید فکر کرد.