به نام خدا
$$\{1, 3, 5, 7, 9, ...\}$$
می‌دانیم که این دنباله، دنبالۀ اعداد طبیعی فرد است و ضابطۀ آن $2n-1$ ($n\in\mathbb{N}$) است و همچنین رابطۀ بازگشتی آن نیز $a_n=a_{n-1}+2$ ($a_1=1$).
$$\bigg\{-1, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{9}, -\frac{1}{16}, -\frac{1}{25}, ...\bigg\}$$
پس از کمی دقت، می‌توانید متوجه شوید که ضابطۀ آن $\large\frac{-1}{n^2}$ ($n\in\mathbb{N}$) است. برای به‌دست آوردن فرمول بازگشتی‌اش نیز می‌توانید تفاضل دو جملۀ متوالی را به‌صورت زیر به‌دست آورید:
$$a_n-a_{n-1}= \bigg(\frac{-1}{n^2}\bigg)-\bigg( \frac{-1}{(n-1)^2}\bigg) $$
در نتیجه رابطۀ بازگشتی‌اش به‌شکل زیر است:
$$\boxed{a_n=a_{n-1}+\frac{2n-1}{(n^2-n)^2},\space (a_1=-1)}$$
همچنین یک رابطۀ بازگشتی دیگر نیز به‌شکل زیر است:
$$\boxed{a_n= -\frac{1}{\bigg(\bigg| \sqrt{ -\frac{1}{a_{n-1}} } \bigg| +1\bigg )^2},\space (a_1=-1)}$$
