به نام خدا
$$\{1, 3, 5, 7, 9, ...\}$$
می‌دانیم که این دنباله، دنبالۀ اعداد طبیعی فرد است و ضابطۀ آن $2n-1$ ($n\in\mathbb{N}$) است و همچنین فرمول بازگشتی آن نیز $a_n=a_{n-1}+2$ است و $a_1=1$.
$$\bigg\{-1, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{9}, -\frac{1}{16}, -\frac{1}{25}, ...\bigg\}$$
پس از کمی دقت، می‌توانید متوجه شوید که ضابطۀ آن $\large\frac{-1}{n^2}$ ($n\in\mathbb{N}$) است. برای به‌دست آوردن فرمول بازگشتی آن نیز می‌توانیم از نرم‌افزار Maple (میپل) استفاده کنیم.
پس فرمول بازگشتی به‌صورت زیر است:
$$\boxed{a_{n}=\frac{(n-3)^2+4(n-3)+4}{(n-3)^2+6(n-3)+9}\cdot a_{n-1},\space(a_1=-1)}$$
البته دقت کنید که Maple دنباله‌های بازگشتی‌اش را از صفر شروع به اندیس‌گذاری می‌کند نه یک. و چون ما می‌خواستیم که از یک شروع به اندیس‌گذاری کنیم، در فرمول بازگشتی تغییراتی دادیم.
همچنین اگر نمی‌خواهید که از نرم‌افزار استفاده کنید، می‌توانید تفاضل دو جملۀ متوالی از دنباله را به‌صورت زیر به‌دست آورید و بعد رابطۀ بازگشتی دنباله به‌دست می‌آید.
$$a_n-a_{n-1}= \bigg(\frac{-1}{n^2}\bigg)-\bigg( \frac{-1}{(n-1)^2}\bigg) $$
در نتیجه:
$$\boxed{a_n=a_{n-1}+\frac{2n-1}{(n^2-n)^2},\space (a_1=-1)}$$
همچنین یک رابطۀ بازگشتی دیگر نیز به‌شکل زیر است:
$$\boxed{a_n= -\frac{1}{\bigg(\bigg| \sqrt{ -\frac{1}{a_{n-1}} } \bigg| +1\bigg )^2},\space (a_1=-1)}$$
