فرمول بازگشتی و ضابطۀ دنباله های داده شده را بدست آورید

Question

دنباله‌های زیر داده شده‌اند. فرمول بازگشتی و ضابطۀ دنباله را مشخص کنید.

$$\{1, 3, 5, 7, 9, ...\}$$ $$\bigg\{-1, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{9}, -\frac{1}{16}, -\frac{1}{25}, ...\bigg\}$$

Answer 1

به نام خدا

$$\{1, 3, 5, 7, 9, ...\}$$

می‌دانیم که این دنباله، دنبالۀ اعداد طبیعی فرد است و ضابطۀ آن $2n-1$ ($n\in\mathbb{N}$) است و همچنین رابطۀ بازگشتی آن نیز $a_n=a_{n-1}+2$ ($a_1=1$).

---

$$\bigg\{-1, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{9}, -\frac{1}{16}, -\frac{1}{25}, ...\bigg\}$$

پس از کمی دقت، می‌توانید متوجه شوید که ضابطۀ آن $\large\frac{-1}{n^2}$ ($n\in\mathbb{N}$) است. برای به‌دست آوردن فرمول بازگشتی‌اش نیز می‌توانید تفاضل دو جملۀ متوالی را به‌صورت زیر به‌دست آورید:

$$a_n-a_{n-1}= \bigg(\frac{-1}{n^2}\bigg)-\bigg( \frac{-1}{(n-1)^2}\bigg) $$

در نتیجه رابطۀ بازگشتی‌اش به‌شکل زیر است:

$$\boxed{a_n=a_{n-1}+\frac{2n-1}{(n^2-n)^2},\space (a_1=-1)}$$

همچنین یک رابطۀ بازگشتی دیگر نیز به‌شکل زیر است:

$$\boxed{a_n= -\frac{1}{\bigg(\bigg| \sqrt{ -\frac{1}{a_{n-1}} } \bigg| +1\bigg )^2},\space (a_1=-1)}$$

Answer 2

۱) دنبالهٔ $\{1,\,3,\,5,\,7,\,9,\dots\}$

۱. جملهٔ عمومی
$$ a_n \;=\; 2n-1 \qquad (n\ge1) $$

۲. رابطهٔ بازگشتی (خطّی مرتبهٔ یک)
$$ \begin{cases} a_1 = 1,\\[4pt] a_{n} = a_{n-1}+2 \quad\bigl(n\ge2\bigr) \end{cases} $$

---

۲) دنبالهٔ $\bigl\{-1,\,-\dfrac14,\,-\dfrac19,\,-\dfrac1{16},\,-\dfrac1{25},\dots\bigr\}$

۱. جملهٔ عمومی
$$ b_n \;=\; -\,\dfrac{1}{n^{2}} \qquad (n\ge1) $$

۲. یک رابطهٔ بازگشتی ساده (وابسته به $n$)
$$ \begin{cases} b_1 = -1,\\[6pt] b_{n} = b_{\,n-1}\,\Bigl(\dfrac{n-1}{n}\Bigr)^{2} \quad\bigl(n\ge2\bigr) \end{cases} $$

(چون $b_{n-1}=-1/(n-1)^{2}$ است، ضرب در $\bigl(\dfrac{n-1}{n}\bigr)^{2}$ دقیقاً $-1/n^{2}$ را می‌دهد.)