۱. چند جملهٔ اول را بنویسیم تا الگو روشن شود
$\,x_1=22\,$ (زوج) $\;\Longrightarrow\; x_2=\dfrac{x_1}{2}=11$
$\,x_2=11\,$ (فرد) $\;\Longrightarrow\; x_3=3x_2+1=34$
$\,x_3=34\,$ (زوج) $\;\Longrightarrow\; x_4=\dfrac{34}{2}=17$
$\,x_4=17\,$ (فرد) $\;\Longrightarrow\; x_5=3\!\times\!17+1=52$
ادامه میدهیم تا به حلقهٔ پایدار برسیم:
$$
\begin{aligned}
x_5&=52\;\text{(زوج)}\;\Rightarrow\;x_6=26\\
x_6&=26\;\text{(زوج)}\;\Rightarrow\;x_7=13\\
x_7&=13\;\text{(فرد)}\;\Rightarrow\;x_8=40\\
x_8&=40\;\text{(زوج)}\;\Rightarrow\;x_9=20\\
x_9&=20\;\text{(زوج)}\;\Rightarrow\;x_{10}=10\\
x_{10}&=10\;\text{(زوج)}\;\Rightarrow\;x_{11}=5\\
x_{11}&=5\;\text{(فرد)}\;\Rightarrow\;x_{12}=16\\
x_{12}&=16\;\text{(زوج)}\;\Rightarrow\;x_{13}=8\\
x_{13}&=8\;\text{(زوج)}\;\Rightarrow\;x_{14}=4\\
x_{14}&=4\;\text{(زوج)}\;\Rightarrow\;x_{15}=2\\
x_{15}&=2\;\text{(زوج)}\;\Rightarrow\;x_{16}=1\\
x_{16}&=1\;\text{(فرد)}\;\Rightarrow\;x_{17}=4
\end{aligned}
$$
از اینجا به بعد توالی $$4,\,2,\,1$$ مرتباً تکرار میشود، چون:
$$
4\;\xrightarrow{\text{زوج}}\;2\;\xrightarrow{\text{زوج}}\;1\;
\xrightarrow{\text{فرد}}\;4\;\xrightarrow{\text{زوج}}\;2\;\dots
$$
بنابراین برای $$n\ge14$$ داریم
$$
x_n=
\begin{cases}
4 &\text{اگر }(n-14)\bmod 3=0,\\[4pt]
2 &\text{اگر }(n-14)\bmod 3=1,\\[4pt]
1 &\text{اگر }(n-14)\bmod 3=2.
\end{cases}
$$
۲. جایگاههای موردِ سؤال
۱. $$x_{1399}:$$
$$
1399-14=1385,\qquad 1385\bmod 3=2
\;\;\Longrightarrow\;\;x_{1399}=1.
$$
۲. $$x_{1400}:$$
$$
1400-14=1386,\qquad 1386\bmod 3=0
\;\;\Longrightarrow\;\;x_{1400}=4.
$$
۳. $$x_{1401}:$$
$$
1401-14=1387,\qquad 1387\bmod 3=1
\;\;\Longrightarrow\;\;x_{1401}=2.
$$
$$
x_{1399}+x_{1400}+x_{1401}=1+4+2=7.
$$
