رابطه ای نابازگشتی برای دنبالهٔ $f(n)=f^2(n-1)+1$ که $f(1)=1$ بیابید.

Question

آیا ضابطهٔ مستقیمی برای دنبالهٔ زیر که با رابطه‌ای بازگشتی تعریف شده‌است می‌توان یافت؟

$$f(1)=1,\;\forall n\geq 2\;\colon\;f(n)=\big(f(n-1)\big)^2+1$$

Comments

@mort چیزی که نوشتید را در قالب دیدگاه در زیر پرسش می‌گذاشتید. شما ضابطه‌ٔ مستقیمی برای این تابع ننوشته‌اید، و اثباتی هم برای اینکه ضابطهٔ مستقیمی برایش موجود نباشد نیاورده‌اید که یعنی پرسش اصلی را هنوز پاسخ نداده‌اید. پس پست‌تان در تعریف دیدگاه می‌گنجد نه پاسخ.

---

دوست عزیز اینکه به صورت سری از توابع شبه لگاریتمی نوشته می شود بسیار بدیهی است.
برای حالت خاصش: $ x^{2}+1 \Rightarrow x=1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 5 \Rightarrow 26 \Rightarrow ... $
برای حالت کلی:
$ x^{2}+1 \Rightarrow x=k \Rightarrow k^{2}+1 \Rightarrow k^{4}+2k^{2}+2 \Rightarrow k^{8}+4k^{6}+8k^{4}+8k^{2}+5 \Rightarrow ... \Rightarrow a_{s}k^{2^{n}}+a_{s-1}k^{2^{n}-2}+...+a_{1}k^{2}+a_{0} $
دوست خوب من @AmirHosein بنظر شما آیا عبارت بالا شبیه به محاسبه عبارت زیر نیست؟
$ (a+b)^{k} $
عبارت $ k^{2^{n}}+a_{s-1}k^{2^{n}-2}+...+a_{1}k^{2}+a_{0} $ شبیه به محاسبه حاصل $ (a+b)^{k} $ است و در ضمن بسیار سریعتر نسبت به $ (a+b)^{k} $ رشد می کند. (بررسی درستی این حرف نیاز به هیچ اثباتی ندارد و فقط با نگاه کردن به عبارات سریعا متوجه می شید.) حال آیا شما می توانید برای $ (a+b)^{k} $ یک تابع بنویسید؟!
اگر جواب شما خیر است پس همانطور که پاسخ را تبدیل به نظر می کنید. نظر را تبدیل به پاسخ کنید و اگر جواب شما بله است پس زیر این کامنت تابعرمورد نظر را بنویسید.

---

@mort معلوم نیست چه نوشته‌اید. @fardina و @kazomano شما متوجه می‌شوید این دیدگاه چه می‌گوید و در صورت بامعنا بودنش آیا اثبات ناموجود بودن یک ضابطهٔ صریح برای جملهٔ عمومی دنبالهٔ داخل پرسش است؟

---

@AmirHosein سلام
مسئله رو به این صورت هم میتوان نوشت: آیا میتوان برای تابع $ a_{s}k^{n}+a_{s-1}k^{n-2}+a_{s-2}k^{n-4}+...+a_{1}k^{2}+a_{0} $ یک ضابطه نوشت که با دادن مقدار k (مقادیر n و a ها را داریم) را محاسبه کرد؟
مثلا: تابعی منحصر بفرد نظیر $ log_2(x) $ و یا $ \frac{1-x}{3} $ و ... بنویسید و به جای f(x) در معادله $ f(x)=x^{8}+4x^{6}+8x^{4}+8x^{2}+5 $ قرار دهید تا معادله درست از آب در آید.
چیز خاصی نیست!!!

---

@mort ببینید. ۱- نوشته نشدن بر حسب چندجمله‌ای با نداشتن ضابطهٔ صریح مترادف نیستند. ۲- سعی کنید دقیق صحبت کنید. نه اینکه هر دیدگاه به یک سمتی برود. دقیقا بگوئید «ادعا/حکم»ای که می‌خواهید اثبات کنید چیست و سپس به صورت منطقی اثباتش کنید. برای نمونه دیدگاه اول‌تان یک جمله می‌گوید یک سری می‌خواهید بنویسید. جملهٔ دیگیر می‌گوید سرعت رشد از سرعت رشد فلان تابع بیشتر است. جملهٔ سومی می‌گوید فلان مقدارها بر روی یک خط قرار می‌گیرند. به نظر خودتان این سه‌جمله را کنار هم بگذاریم به «دنبالهٔ داخل پرسش جملهٔ عمومی صریح ندارد» می‌رسیم؟