اثبات اینکه یک هشت ضلعی با زوایای مساوی مرکز تقارن دارد.

Question

یک هشت ضلعی داریم که تمامی زاویه های ان مساوی است. اثبات کنید این هشت ضلعی مرکز تقارن دارد.

Answer 1

درهشت ضلعی زیردوقطر AC و BD را رسم کنیدادعا می کنیم نقطه تلاقی آنها مانندO مرکزتقارن آن است باتوجه همنهشتی مثلث های AOB و CODداریم AO=OCو BO=ODاکنون ازهرنقطه مانندJ باعبور ازO تا نقطه K به هشت ضلعی با راستای مستقیمی رسم کنیم با همنهشتی مثلث های BJOو KOD داریم JO=KO

Comments

فکر می کنم متوجه منظور سوال نشدید.دقت کنید در صورت سوال ذکر شده این هشت ضلعی تنها زوایای مساوی دارد.شما خودتان شرط برابر بودن اضلاع را نیز اضافه کرده اید چراکه موضوع را برای یک هشت ضلعی منتظم اثبات کرده اید. حتی اگر منظورتان این باشد که این اثبات برای یک هشت ضلعی غیر منتظم با زوایای مساوی نیز  صدق میکند باز هم این اثبات درست نیست . کافی است برای رد این اثبات از قضیه خطوط موازی کمک بگیرید به این صورت که مثلا هشت ضلعی منتظم پاسختان را در نظر بگیرید. حال بیایید یک خط موازی با خط AB رسم کنید که مثلا یک سر ان نقطه J باشد. حال اندازه دو ضلع هشت ضلعی کمتر و اندازه ضلع AB نیز بیشتر می شود اما هنوز تمامی زوایا مساوی است(چون خطی که رسم کرده ایم موازی با ضلع AB است) و به وضوح در این شکل دیگر دو مثلث AOB و COD همهشت نیستند.

---

به نظر میرسد درهرحال ضلع های روبرو بایدموازی وهم اندازه باشند

---

خیر شکلی که گفتم در نظر بگیرید دو ضلع روبه رو موازی بوده اما مساوی نیستند.

---

در این صورت ضلع AB هیچ قرینه ای ندارد و سوال اشتباه است.

---

دقت کنید در صورت سوال گفته شده مرکز تقارن نه محور تقارن ، حتما می دانید برای اینکه این هشت ضلعی مرکز تقارن داشته باشد لزومی ندارد که ضلع AB قرینه داشته باشد .
از طرفی این سوال درست بوده و مربوط به یکی از المپیادهای جهانی است .