حل معادله توانی و لگاریتم $ \frac{\log(x)}{\log( \frac{1}{16} )} = ( \frac{1}{16}) ^{x} $

Question

سلام معادله زیر رو حل کنید جواب رو دارم روش حل رو میخوام

$$ \frac{\log(x)}{\log( \frac{1}{16} )} = ( \frac{1}{16}) ^{x} $$

Comments

نیم و یک چهارم تو معادله صدق میکنه. یک جواب دیگه هم داره.

Answer 1

یک راه برای حل که البته تضمینی بر یافتن تمامی پاسخ‌های معادله نمی‌کند استفاده از نمودار و سپس حل عددی معادله به روش نیوتن-رافسون است. توجه کنید که دامنهٔ تابع داخل معادله‌تان $x>0$ است پس ما تنها رسم نمودار برای سمت راست محور $x$ها را مورد توجه قرار می‌دهیم. ترسیم را با نرم‌افزار Maple انجام داده‌ام که البته می‌توانید از نرم‌افزارهای دیگر و یا حتی زبان‌های برنامه‌نویسی ساده نیز استفاده کنید. رسم به صورت عددی و با تقسیم‌بندی بازهٔ ترسیم به چند قسمت مساوی و مقدار دهی تابع در نقاط انتخاب شده و سپس وصل کردن نقطه‌های بدست‌آمده انجام می‌شود. شکل‌های زیر ترسیم‌های انجام شده‌است. زمانی که می‌بینید خم‌تان نزدیک محور می‌شود در آنجا باید زوم کنید (یعنی بازهٔ ترسیم جدیدتان را بازهٔ کوچکتری مناسب به قسمتی که می‌خواهید زوم کنید بگیرید). بعلاوه برای بهتر شدن شکل تعداد تقسیم‌بندی‌ها را گاها باید افزایش دهید. برای نمونه در ترسیم‌های زیر تعداد تقسیم‌بندی‌ها را ۲۰۰۰ گرفته‌ام.

همانطور که آقای @kazomano اشاره کردند دو پاسخ $x=\frac{1}{4}=0.25$ و $x=\frac{1}{2}=0.5$ هستند. اما برای یافتن پاسخ سوم که در بین این دو مقدار قرار دارد از روش نیوتن-رافسون با حدس اولیهٔ $x_0\simeq 0.35$ و شرط توقف فاصلهٔ دو جملهٔ متوالی کمتر از $0.01$ استفاده می‌کنیم. دستور Maple که این کار را برایتان انجام دهد در تصویر زیر آمده‌است. مقدار پاسخ $x\simeq 0.3642498801$ تقریب زده‌شده‌است. اگر این مقدار را در معادله‌تان قرار دهید حاصل تقریبا برابر با $-0.0000000004$ می‌شود، پس تقریب بدی نیست (البته بستگی به کاربرد خواسته‌شده دارد). دستور انجام این محاسبه نیز در تصویر زیر آورده‌شده‌است.