تعریف میکنیم : $$y:=\frac{x^3+1}{2}$$
$$z:=\sqrt[3]{2x-1}$$
در نتیجه معادله به صورت زیر است :
$$\frac{y^3+1}{2}=z$$
حال فرض میکنیم $x>y$ است در نتیجه :
$$x>y=\frac{x^3+1}{2}>\frac{y^3+1}{2}=z$$
پس باید داشته باشیم $x > y > z$ . اما با توجه به : $y^3+1=2z$ و $z^3+1=2x$
$$0=y^3-z^3+2(x-z) > 0,$$
که تناقض است . همچنین اگر $x < y$ را در نظر بگیریم بازم هم به تناقض میرسیم .در نتیجه باید داشته باشیم $x=y$ در این صورت خواهیم داشت :
$$x^3-2x+1=0 \\ x^3-x^2+x^2-x-x+1=0 \\ (x-1)(x^2+x-1)=0 \\$$
بنابراین مجموعه جواب معادله برابر است با :
$$\left\{1,\frac{-1+\sqrt5}{2},\frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}$$
