Question

معادله زیر داده شده است:

$ x^{5}+5 \lambda x^{4}- x^{3} + (\lambda \alpha -4) x^{2} -(8 \lambda +3)x- \lambda \alpha -2=0 $

الف)$ \alpha $ را به گونه‌ای بیابید که معادله دقیقا یک ریشه مستقل از $ \lambda $ داشته باشد.

ب)$ \alpha $ را به گونه‌ای بیابید که معادله دقیقا دو ریشه مستقل از $ \lambda $ داشته باشد.

Answer 1

پاسخ قسمت الف)

ابتدا معادله داده شده را مرتب می کنیم:

$\lambda(5x^{4}+\alpha x^{2}-8x-\alpha)=-(x^{5}-x^{3}-4x^{2}-3x-2)$

که اگر طرف راست تجزیه شود، نتیجه می‌شود: $\lambda(5x^{4}+\alpha x^{2}-8x-\alpha)=-(x-2)(x^{2}+x+1)^{2}$

برای آنکه معادله، فارغ از لاندا هم جواب داشته باشد، باید عبارت جبری مقابل آن دارای عامل مشترک با طرف راست باشد. در قسمت الف چون خواسته سوال آن بوده که ریشه مشترک، یک عدد باشد؛ باید عبارت عبارت جبری به عنوان ضریب لاندا دارای عامل $x-2$ باشد. پس در این صورت مقدار آن به ازای $x=2$ برابر با صفر خواهد شد:

$ \displaystyle \Longrightarrow 5(2)^{4}+4\alpha -8(2)-\alpha=0 \Longrightarrow \alpha= \frac{-64}{3}$

برای قسمت ب نیز باید مشابه بالا کار کرد و باید کاری کرد که عبارت مقابل لاندا بر $x^{2}+x+1$ بخش پذیر شود تا دو ریشه مختلط فارغ از لاندا داشته باشد.

Answer 2

صورت صحیح معادله

$ x^{5}+5 \lambda x^{4}- x^{3} +( \lambda \alpha -4) x^{2}-(8 \lambda +3) x+ \lambda \alpha -2=0 $