چگونه این معادله را حل کنیم :$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(3-x)^2} = \frac{104}{25} $

Question

چگونه باید برابری زیر را حل کنم؟ $$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(3-x)^2} = \frac{104}{25} $$

Answer 1

$$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(3-x)^2}=\dfrac{104}{25}$$

ابتدا تعریف میکنیم :

$$x:=u \ \ , \ \ v:=3-x \ \ \ \ u+v= 3 \tag{1}$$

$$\frac{1}{u^2} + \frac{1}{v^2} = \frac{104}{25} $$ خواهیم داشت :

$$\frac{1}{u^2} + \frac{1}{v^2} = \frac{u^2+v^2}{(uv)^2} = \frac{(u+v)^2-2uv}{(uv)^2} = \frac{9-2uv}{(uv)^2}$$

حال تعریف میکنیم :

$uv=z$ در نتیجه خواهیم داشت :

$$ \frac{9-2z}{z^2} = \frac{104}{25} $$ $$uv=z=\dfrac{5}{4} \ \ \text{Or} \ \ uv=z=\dfrac{-45}{26} \tag{2}$$

حال با توجه به معادله $(1),(2)$ مجموعه جواب برابر خواهد شد با :

$$\left\{\frac{1}{2},\frac{5}{2},\frac{3}{2}\left(1+\sqrt{\frac{23}{13}}\right),\frac{3}{2}\left(1-\sqrt{\frac{23}{13}}\right)\right\}$$

Answer 2

اگر صورت و مخرج تساوی را ساده کنیم به معادله درجه چهارم زیر می رسیم:

$104 x^{4} -624 x^{3} +886 x^{2} +150x-225=0 :(1)$

---

اما بهتر است که دو ریشه را به روش دیگر بدست آوریم:

در معادله$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(3-x)^2} = \frac{104}{25}$ مخرج کسر سمت راست برابر 25 است و 25=5*5 می باشد.

پس قرار می دهیم: $x= \frac{5}{k} , (3-x)= \frac{5}{k' } $

در نتیجه: $ \frac{ k^{2} }{25} + \frac{ k' ^{2} }{25} = \frac{104}{25} $

پس : $ k^{2} + k' ^{2} =104=100+4 \Longrightarrow k=10 , k' =2 \ldots OR \ldots k=2 , k' =10 $

---

به این ترتیب یک جواب.... $ x_{1} =0.5$ ....و جواب دیگر.... $ x_{2} =2.5$ ....می باشد.

$(x-0.5)(x-2.5)= x^{2} -3x+1.25 :(2)$

---

با تقسیم چند جمله ای (1) بر (2) داریم: $ \frac{(1)}{(2)} =104 x^{2} -312x-180$

با حل معادله درجه دوم بدست آمده:

$ x_{3,4} = \frac{39 \pm \sqrt{2691} }{26} $