قضیه رل مشتق ریاضی عمومی یک

Question

چندجمله ای $a_0+a_1x^1+...+a_nx^n$ را در نظر بگیرید اگر به ازای هر عدد حقیقی c داشته باشیم:$a_0+2a_1c^1+...+(n+1)a_nc^n>0$

ثابت کنید این چند جمله ای ریشه حقیقی ندارد لطفا تو حلش کمکم کنین ممنون میشم

من فقط تونستم بفهمم مربوط به رل یا قضیه مقدار میانگینه

Comments

من متوجه سوال نمیشم.
لطفا ویرایش کنید و با کمک تایپ ریاضی فرمولها رو دقیق بنویسید و سوالتون رو توضیح بدید.

---

سلام متاسفانه نمیشه درست تایپش کرد
فقط یه چند جمله ایه که ضرایب 1 تا n+1 گرفته و به جای متغیر x یه مقدار ثابت c رو داریم

---

فکر میکنم صورت سوال به اندازه کافی واضح باشه اصلا نیازی به اینکه چندجمله ای رو تایپ کنم نیست همه ما میدونیم چند جمله ای چه شکلیه فقط عبارت دوم ضریب 1 تا n+1 گرفته و متغیر تغییر کرده همین مشکل من تو استفاده از رل برای حل سواله

---

لطف کنید چند دقیقه خیلی کوتاه راهنمای تایپ ریاضی همون خط های اول مربوط به نوشتن توان و اندیس رو بخونید و سوال رو ویرایش کنید.

---

لطفا مطمئن بشید که سوال رو درست نوشتید. منظورتون از $c_1$ و $c_n$ همان $c^1$ و $c^n$ هست؟

---

واقعا عذر میخوام بله اونا توان هستن

Answer 1

قرار می دهیم $f(x)= a_{0} x+ a_{1} x^{2} +...+ a_{n} x^{n+1} $ در $[0,x]$ بنا به قضیه مقدار میانگین وجود دارد $c \in (0,x)$ به طوریکه

$$0<f'(c)= a_{0} +2 a_{1} c+...+(n+1) a_{n} c^{n}= \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= a_{0} + a_{1} x+...+ a_{n} x^{n} $$

این همونه که می خواستیم.

Comments

از وقتی که گذاشتین سپاس گزارم
اما چطور ازمثبت بودن چند جمله ای به اینکه چند جمله ای ریشه نداره برسم؟؟صورت سوال میگه که نشون بده چند جمله ای ریشه نداره
البته طبق قضیه ریشه ها این چند جمله ای هیچ مقدار منفی نداره اما نمیدونم درسته یا نه


آها فهمیدم ممنون