کاربرد مشتق ریاضی عمومی ۱

Question

مخروط مستدیر (یعنی با شعاع قاعده دایره اي) قائمی به شعاع R و ارتفاع h مفروض است .شعاع و ارتفاع استوانه مستدیر قائمی که بیشترین سطح جانبی را دارد و قابل محاط شدن در این مخروط باشد را بیابید

Answer 1

ابتدا برای پیدا کردن ارتفاع و شعاع استوانه، باید بیشترین سطح جانبی مخروط را پیدا کنیم. بیشترین سطح جانبی مخروط برابر با مساحت دایره‌ای با شعاع برابر با حرف R است که روی قاعده مخروط است.

بنابراین، مساحت بیشترین سطح جانبی مخروط برابر با πR² است.

برای پیدا کردن شعاع و ارتفاع استوانه، باید به دنبال شعاع و ارتفاعی باشیم که مساحت آنها برابر با πR² باشد. با توجه به این که مساحت یک استوانه برابر با ۲πrh است، می‌توانیم به شرح زیر عمل کنیم:

۲πrh = πR²

با تقسیم هر دو طرف بر ۲πR، داریم:

h = R

بنابراین، ارتفاع استوانه برابر با شعاع قاعده مخروط است. همچنین، با توجه به معادله‌ی بالا، شعاع استوانه نیز برابر با شعاع قاعده مخروط یعنی R است.

بنابراین، استوانه‌ای که بیشترین سطح جانبی را در مخروط دارد، استوانه‌ای با شعاع و ارتفاع برابر با R است.