کاربرد انتگرال کاربرد مشتق

Question

مخزنی 1000لیتری داریم که به شکل استوانه است قاعده و سقف این مخزن را با ورق های پلاستیکی به ضخامت 10میلی متر و سطح جانبی این مخزن را با ورقه های 15 میلی متری پوشانده ایم اگر هزینه هر متر مربع ورق 15 میلی متری 3 میلیون تومان و هزینه هر متر مربع ورق 10 میلی متری 2 میلیون تومان باشد آنگاه ارتفاع و شعاع استوانه ای را بیابید که کمترین هزینه ساخت را داشته باشد .

من برای این از کاربد مشتق استفاده کردم و شعاع رو برحسب ارتفاع(باتوجه به 1000=2^r$ \pi $ ) بدست آوردم و خواستم از مشتق استفاده کنم که دیدم درجه 3 و4 میشه اگه راه حل یا ایده ای میدونید راهنمایی کنید

Comments

@abc123 لطفا تایپ ریاضی را بیاموزید. عنوان سوال اصلا گویای متن سوال نیست.

Answer 1

اگر $p$نشان دهنده مساحت کل باشد برابر است با

مساحت دوقاعده +مساحت جانبی

و مساحت جانبی برابر است با

محیط قاعده×ارتفاع

یعنی داریم$$p=2πr^2+2πrh$$اما حجم مخزن $1000$لیتر است یعنی حجم مخزن $1m^3$است یعنی داریم$$πr^2h=1$$یعنی$$h= \frac{1}{πr^2} $$با جایگذاری این مقدار در مساحت کل داریم$$p=2πr^2+ \frac{2}{r} $$با مشتق گیری از مساحت کل و برابر صفر قرار دادن آن داریم$$r= (\frac{1}{2π}) ^ \frac{1}{3} $$و $$h= \frac{(4π^2)^ \frac{1}{3} }{π} $$

Comments

روش حلت درسته اما به یک نکته ریز توجه نکردی :
سوال نگفته مساحت کل کمترین باشه ، بلکه  ((هزینه)) ساخت این مساحت کل کمترین باشه

---

@amirhm وقتی کمترین هزینه ساخت را دارید که کمترین مساحت را داشته باشید

---

هزینه ساخت سقف ها با جانب متفاوته