اگر تابعی مشتق یک تابع دیگر باشد، آنگاه انتگرالپذیر ریمان نیز است. یک تابع دلخواه بردارید. آنگاه چون مشتق سوم آن مشتقِ مشتق دومِ تابعتان است، مشتق سوم باید انتگرالپذیر ریمان باشد. و اگر تابعی انتگرالپذیر ریمان باشد، آنگاه توان دویِ آن نیز انتگرالپذیر ریمان میشود. و حتی نیاز به فرض در مورد انتگرالپذیری توان دویِ مشتق دوم در اثبات نشد.
اگر به جای انتگرالپذیری، مشتقپذیری را میپرسیدید، آنگاه پاسخ مثبت میشد.
خیلی راحت یک تابع بردارید که مشتقناپذیریاش با به توان دوم رساندن از بین نمیرود ولی انتگرال این تابع کلا مشتقپذیر است و چون توان دوم یک تابع مشتقپذیر، مشتقپذیر میماند پس شما عملا پاسخ پرسش در حالت «مشتقپذیری به جای انتگرالپذیری» را دارید، کافیاست دو بار دیگر نیز انتگرال بگیرید. اولین نمونهٔ بدیهی که به ذهن من رسید پس از سه بار انتگرال گرفتن تابع زیر میشود.
$$
f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ll}
-\frac{x^3}{6} & ;\;x< 0\\
\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{6}x^3 & ;\; x\geq 0
\end{array}\right.
$$
مشتق دوم این تابع برابر است با
$$
f''(x)=\left\lbrace\begin{array}{ll}
-x & ;\;x< 0\\
\frac{1}{2}x^2-x & ;\; x\geq0
\end{array}\right.
$$
و مشتق سوم آن برابر است با
$$
f^{(3)}(x)=\left\lbrace\begin{array}{ll}
-1 & ;\;x< 0\\
x-1 & ;\; x\geq 0
\end{array}\right.
$$
به روشنی توان دویِ مشتق سوم تابعمان در نقطهٔ $x=0$ مشتقپذیر نیست. نمودار $(f^{(3)}(x))^2$ در زیر آوردهشدهاست.
اما $(f''(x))^2$ در کل $\mathbb{R}$ (بهویژه در $x=0$) مشتقپذیر است، نمودار آن نیز در زیر آوردهشدهاست.
