من کلمه برعکس را خوب متوجه نشدم.اما چند مفهوم را شرح می دهم که امیدوارم روشنی بخش واقع شود:
تابع با مقادیر حقیقی $F$ را روی یک بازه تابع اولیه برای تابع $f$ روی همان بازه گویند هرگاه در آن بازه مشتق پذیر باشد و:
$ F' =f$
واضح است که اگر یک تابع اولیه مانند $F$ موجود باشد آنگاه برای هر عدد حقیقی و ثابت $C$ ،$F+C$ نیز یک تابع اولیه است.
حالا توجه کنید که اگر تابع $f$ بر بازه $[a,b]$ پیوسته باشد (((آنگاه نسبت به تابع همانی انتگرال پذیر (ریمان) است))) و اگر تعریف کنیم:
$F(x)= \int _a^xf(x)dx ,a \leq x \leq b$
آنگاه $F$ یک تابع اولیه برای $f$ است و این به قضیه اساسی اول انتگرال مشهور است.
[حالا اگر $f$ مشتق پذیر باشد، و مشتق آن انتگرال پذیر ( پیوسته باشد) آنگاه چون $f(x)= \int _a^x f' (t)dt$ نتیجه می شود همین $f$ یک تابع اولیه برای $ f' $ است.]
در قضیه اساسی اول حساب انتگرال شرط پیوستگی لازم است.تابع $f$ را در بازه $[0,2]$ به صورت زیر در نظر بگیرید:
$ f(x) =1 if:x \neq 1 \wedge f(1)=0$
این تابع چون در $0$ پیوسته نیست پس بر بازه $[0,2]$ پیوسته نیست اما انتگرال پذیر ریمان است و برای هر $x$ در $[0,2]$ داریم:
$F(x)= \int_0^xf(t)dt=x, F' =1$
اما $f$ هیچ تابع اولیه ای ندارد.(اگر $f$ تابع اولیه ای مانند $G$ داشته باشد باید $ G' =f$ و
$G(x)= \int _0^x G' (t)dt= \int _0^xf(t)dt=x \Rightarrow f= G' =1 \bot $
پس تابع بالا انتگرال پذیر ریمان هست اما تابع اولیه ندارد.
توضیحات کروشه بالا نشان می دهد که اگر تابعی مشتق پذیر باشد یک تابع اولیه آن در واقع انتگرال اش است اما برای توابع دیگر ممکن است چنین نباشد.
$ \Box $
