چرا در تعریف انتگرال و مشتق از حد استفاده می کنیم؟

Question

باسلام: راستش من وخيلي از دوستام تو مفهوم حد خيلي مشكل داريم واسه همين ميخواستم تو اين صفحه به مفهوم حد بپردازيم : اولين سوالم اينه كه حد چه موقع قابل تعريفه و چه موقع ميتوان ازحد استفاده كرد ؟!

منظورم اينه كه در تابع و دنباله و مشتق و انتگرال از حد استفاده ميكنيم چرا وبه چه دليل

مثلا در مشتق:

دو نقطه در روي منحني در نظر ميگيريم واين دونقطه را به هم وصل ميكنيم وشيب اين خط رو بدست مياوريم و حد اون شيب خط رو در نقطه ابتدايي محاسبه ميكنيم وميگوييم مشتق در آن نقطه است چرا ميتوانينم از اون شيب حد بگيريم در كل منظورم اينه كه چه موقع ميتوان از ي چيزي حد گرفت ؟ واينكه چرا حد ميگيريم ؟!!

---

بعد از پاسخ آقاي فرشچيان و اون چيزيكه تو ذهنه ي برداشتي انجام دادم ممنون ميشم دربارش نظر بدهيد ونظرتون رو بگيد؟!!

برداشت:

ما دوچيز دارم :

الف_)متغير مستقل$x$

ب_)متغير وابسته$f(x)$ اين$f(x)$ ميتونه هر چيزي باشه فقط به متغيري وابسته باشه

حالا در بعضي مواقع ميخواهيم اين متغير وابسته$f(x)$ برابر يك چيزي بشود مانند $l$

اما هر كار ي ميكيم به اون چيزه دلخواه نميرسيم بنابراين مجبور ميشويم ي كاري كنيم كه خيلي خيلي به اون چيزه دلخواه برسه تا بتونيم تقريبا برابر اون قرار دهيم

مانند الف-) انتگرال

ب-) اينكه يك پاره خط به طول 2 به طور متوالي نصف ميكنيم در نتيجه

$$1, \frac{1}{2} , \frac{1}{4} , \frac{1}{8} ,..., \frac{1}{ 2^{n-1} } $$

متغيرمستقل $n$ ومتغير وابسته ما $ S_{n} $ مي باشد حالا ما ميخواهيم $ S_{n} $ برابر $2$ شود اما هر كاري ميكنيم به $2$ نميرسيم حالا كه به $2$ نميرسيم بايد كاري كنيم كه $ S_{n} $ به$2$ خيلي خيلي نزديك شود تا تقريبا برابر اون در نظر بگيريم! در اين صورت از حد استفاده ميكنيم

در بعضي مواقع ديگر نميخواهيم متغير وابسته به برابر يك چيز دلخواه شود ميخواهيم به اون خيلي خيلي نزديك شود مانند مشتق كه نميخواهيم اون خط مماس تبديل به نقطه شود و دوست داريم اين خط مماس خيلي خيلي كوچك شود در اين صورت هم از حد استفاده ميكنيم

ايا اين برداشت من درسته يا كمي وكاستي داره ممنون ميشم جواب بديد

Comments

@farshchian2090
@erfanm
@fardina
ممنون ميشم اگه نظراتتون رو بگيد

---

کاملا حق با شماست در تمام مفاهیم بالا نمیخوایم دقیقا به اون مقدار مشخصی که در ذهن تصور میشه برسیم بلکه باید فاصله ما تا اون عدد بسیار بسیار کوچک بشه تا جایی که &&تقریبا&& این فاصله رو صفر در نظر میگیریم .

Answer 1

سوال شما خیلی کلیه دوست عزیز اما تاجایی که به ذهن حقیر برسه مطالبی رو خدمتتون عرض میکنم .

حد به طور کلی وقتی که تابعی در کار باشه اولا مطرح میشه ثانیا مفهوم حد چون یک تعریف دقیق آنالیزی داره یعنی اینکه وقتی میگوییم حد تابع $f(x)$ در نقطه $x=a$ برابر مقداری مانند L است یعنی به ازای هر همسایگی به شعاع $ \epsilon $ مثبت یک همسایگی از x=a به شعاع مثبت $ \delta $ وجود خواهد داشت به طوریکه به ازای تمام x هایی که در همسایگی نقطه a به شعاع $ \delta $ می افتد داشته باشیم : $|f(x)-L|<\epsilon$ یعنی مقادیر تابع f در این x ها در همسایگی L و به شعاع $\epsilon$ قرار میگیرد . که در واقع همان مفهوم هندسی هست که شما از حد بلدید . پس به طور کلی هرجا که مفهوم میل کردن وجود داشته باشد مخصوصا میل کردن به سمت بینهایت ما بایستی از این ابزار قوی برای بیان مفهوم آن استفاده کنیم . به عنوان یک مثال وقتی میگویمم $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ چون ما بینهایت دقیقا برای ما روشن نیست لذا در اینجا ما فرض را بر این گذاشته ایم که به جای بینهایت یک عددی مانند m را گذاشته و سپس m را به بینهایت میل داده ایم یعنی $ lim_{m \rightarrow \infty } \sum_{n=1}^{m} a_n $ در اینجا هم سیگما یک تابعی برحسب m فرض میشود .

اما در مورد شیب تابع : شیب فقط زمانی که شیب خط مماس بر یک تابع مورد نظر باشد از مشتق استفاه میشه و در بقیه موارد که فقط یک تفاضل y ها تقسیم بر تفاضل x ها شیب بین دو نقطه رو بدست میده و نیازی به حد نیست واصلا حد کاربردی برای اون نداره. اونجایی که کاربردش پیدا میشه باز هم مفهوم میل کردن به وجود اومده چرا که شما باید برای اینکه شیب خط مماس رو در نقطه x=a بدست بیارید میاید میگید خب من شیب یک خط رو بین دو نقطه بلدم حساب کنم مثلا الان شیب خط بین نقطه x=a و هر نقطه دلخواه دیگری مثل x باید از این رابطه بدست بیاد : $$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$ حالا شیب مماس رو بخوام بدست بیارم هرچقدر اون نقطه های x دلخواهی که گفتم رو به نقطه a نزدیک کنم بعد شیب بگیرم بین x و a قطعا چیزی که بدست میاد در واقع شیب مماس بر نقطه a رو بدست آوردم . لذا ابزار حد در تعریف مشتق استفاده شده برای ورود مشتق به مباحث آنالیزی بعدی مانند انتگرال و ... و همش هم چیزی جز مفهوم میل کردن نیست .