اگر a \neq b و a<b کافیست قضیۀ مقدار میانگین را برای بازۀ [a,b] بکار بگیرید.
قضیۀ مقدار میانگین:
اگر تابع f بر بازه [a,b] پیوسته و بر (a,b) مشتق پذیر باشد آنگاه:
\exists c \in (a,b):f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\Rightarrow |\frac{f(b)-f(a)}{b-a}|=|f'(c)|=| \frac{cos(sin(c^4))}{1403+cos^2(c)} | \leq \frac{1}{1403+cos^2(c)} \leq \frac{1}{1403} \clubsuit (1403+cos^2(x) \geq 1403)
\Rightarrow |f(b)-f(a)| \leq \frac{1}{b} |b-a|
و اگر a=b نابرابری بدیهی است.
\Box