اگر $a \neq b$ و $a<b$ کافیست قضیۀ مقدار میانگین را برای بازۀ $[a,b]$ بکار بگیرید.
قضیۀ مقدار میانگین:
اگر تابع $f$ بر بازه $[a,b]$ پیوسته و بر $(a,b)$ مشتق پذیر باشد آنگاه:
$ \exists c \in (a,b):f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $
$ \Rightarrow |\frac{f(b)-f(a)}{b-a}|=|f'(c)|=| \frac{cos(sin(c^4))}{1403+cos^2(c)} | \leq \frac{1}{1403+cos^2(c)} \leq \frac{1}{1403} \clubsuit (1403+cos^2(x) \geq 1403)$
$ \Rightarrow |f(b)-f(a)| \leq \frac{1}{b} |b-a|$
و اگر $a=b$ نابرابری بدیهی است.
$ \Box $
