تابع یا معادله چند متغیره

Question

سلام،وقتی تابعی به صورتf(x,y)داریم x,yدامنه تابع را درصفحه تشکیل می دهند و برد تابع میشود محورzها(بعنی f(x,y)=z).حال وقتی یک تابع به صورت f(x,y,z)داریم طبق چیزی که درمورد توابع دومتغیره دربالا داشتیم x,y,z میشوند دامنه تابع پس محوری که مانند محورz هادربالا برد را نشان می دهدچیست(مثلا f(x,y,z)=v)؟

سوأل دیگر اینکه:معادله دایره یا بیضی درصفحه یا در فضارا درنظربگیرید آیا این معادلات تابع اند اگر هستند چه نوع تابعی اند؟

آیا تابع ضمنی تابعی است که درآن علاوه بر متغیر مستقل دردامنه،متغیر وابسته نیز در تابع به کار می رود مثلا تابعی مثل f(x,y)= x^2 + y^2 + z^2 صحیح می باشد

Answer 1

جواب سوال اول:

برای توابع دو متغیره دامنه همیشه زیرمجموعه ای از $R \times R= R^{2} $ نیست.در حالت کلی به صورت جزئی از حاصلضرب دکارتی دو مجموعه مانند $A$ و $B$ است یعنی جزئی از $A \times B$.

برد هم میتونه زیر مجموعۀ مجموعه ای غیر از $R$ باشد.حتی میتونه زیرمجموعه ای از حاصلضرب دکارتی چند مجموعه باشد.مثلن:

$f(x,y)=(x^2+y^2,x,y,x^2-y^2)$

جواب سوال دوم:

خیر مثلا در معادله دایره $ x^{2} + y^{2} =4$ اگر قرار دهیم $f= \{(x,y) | x^{2} + y^{2} =4\} $ ، $f$ یک تابع نیست زیرا

$ (-2,0),(2,0) \in f$

جواب قسمت آخر:

تابع ضمنی در واقع به صورت یک تساوی از متغیرهای مستقل و وابسته است که متغیر وابسته صریحن بر حسب متغیر مستقل نباشد مثلن:

$y^3+3xy=x+y$

مثال خودتان هم درست است اگر قرار دهید $f(x,y)=z$.

$ \Box $