Question

6زن و شوهر در اتاقی هستند.اگر از میان انها 4نفر انتخاب شوند احتمال انکه فقط یک زن و شوهر بین چهار نفر باشد؟

تلاش من:من اومدم جدا جدا حساب کردم.ینی گفتم اول میایم از شش تا مرد سه نفر رو انتخاب میکنیم واز شش زن هم دو نفرو کنار میزاریم چون همسر دو مرد برن کنار و فقط همسر یکی شون بمونه پس یک نفر رو انتخاب میکنیم که زن یکی از اون سه تاس.(ترکیب) دفعه بعد اومدم دو مرد رو انتخاب کردم و از شش زن همسر یکی از اقایونو گذاشتم کنار.شدن5تا زن که حالا یکی از بینشون انتخاب میشه که میشه زن یکی از اون دو نفر(ترکیب) در اخر یک مرد انتخاب شد و و سه زن هم از شش زن انتخاب میشه که حتما یکیشون زن اون مرده میشه. جمع زدم شد350حالت روی حالات نمونه495که جواب تو گزینه ها نبود. کجای راهم اشتباه؟ میشه سوالو برام توضیح بدین؟مرسی

Answer 1

حالتهای مطلوب برابر $$( \binom{10}{2} - \binom{5}{1} ) \times 6=240$$ و کل حالت‌ها هم برابر $$ \binom{12}{4} =495$$ پس این احتمال برابر $ \frac{240}{495} $ است.

Answer 2

$P=\frac{\binom{6}{1}\binom{2}{2}\binom{5}{2}\binom{2}{1}\binom{2}{1}}{\binom{12}{4}}= \frac{240}{495} $

Comments

@zeynabesses74 یک پاسخ تنها به خاطر اینکه گفته شود «پاسخ شما نادرست است» نادرست نمی‌شود. لطفا چیزی که شما را به این نتیجه رسانده‌است را نیز یاد (ذکر) کنید. @good4us دو نفر ناهمسری که انتخاب کردید $2!$ جایگشت دارند. یعنی برای نمونه دو فردناهمسرِ فرد الف و ب می‌توانند یک بار الف در یک نفر از ده نفر انتخاب شود و ب از هشت نفر باقیمانده و یک بار هم ب از ده نفر انتخاب‌شده‌باشد و الف از هشت نفر باقیمانده. برای همین یک تقسیم بر دو بیفزائید درست می‌شود.

---

@AmirHoseinضمن سپاس باتوجه به سوال که به نظر میرسد باانتخاب یک زن وشوهر دو نفرباقیمانده
 می توانند دوزن یا یادو مرد یا یک زن ویک مرد مطرح باشند جایگشتی(ترتیبی) را متصور نمی بینم فقط صرفأزن وشوهرنباشند
باتشکرمجدد

---

معذرت میخوام.فرصت توضیح نداشتم.استدلال من اینه که اون دو زوجی که از 10نفر کنار گذاشته ایم ممکنه خودشون بتونن با بقیه اعضا انتخاب بشن ولی باهم انتخاب نشن پس ابنکه دوباره کنارشون میزاریم یسری حالات رو اضافه میکنه.

---

@good4us استدلال شما درست است ولی من به اینکه دو مرد انتخاب نشوند یا دو زن انتخاب نشوند اشاره‌ای نکرده‌ام. همان الف و ب ای که همسر نباشند با روش شما دو بار شمرده می‌شوند. برای روشن شدن بیایید فرض کنیم دو زوج داریم الف۱ و الف۲ زوج یکم، ب۱ و ب۲ زوج دوم. برای انتخاب دو نفر که ناهمسر باشند. ابتدا یکی از چهار نفر را انتخاب می‌کنیم. پس نفر اول الف۱ یا الف۲ یا ب۱ یا ب۲ است. سپس اگر الف۱ انتخاب شد، الف۱ و الف۲ را کنار می‌گذاریم و فقط از بین دو نفر باقیمانده یعنی ب۱ و ب۲ انتخاب می‌کنیم به همین شکل اگر بقیه انتخاب شده بودند خودش و همسرش را کنار می‌گذاریم و از سایرین انتخاب می‌کنیم. اگر نفر اول الف۱ بوده باشد دوتایی انتخاب شده‌مان (الف۱ و ب۱) و (الف۱ و ب۲) می‌تواند باشند. اگر نفر اول الف۲ بوده‌باشد آنگاه (الف۲ و ب۱) و (الف۲ و ب۲)، اگر ب۱ بود آنگاه (ب۱ و الف۱) و (ب۱ و الف۲)، و در آخر اگر ب۲ بود آنگاه (ب۲ و الف۱) و (ب۲ و الف۲). یعنی ۸ حالت تا انتخاب ساخته‌اید که برابر با $\binom{4}{1}\times\binom{2}{1}$ است. اما توجه کنید که (الف۱ و ب۱) با (ب۱ و الف۱) فرقی نخواهد ساخت چون ترتیب مهم نیست در پرسش در واقع ماهیت پرسش مجموعه می‌گیرد نه زوج مرتب پس اول و دوم بودن فرقی نمی‌سازد و تقسیم بر $2!$ واجب بوده‌است که جا انداخته‌اید. @zeynabeses74 در جایی از پاسخ آقای @good4us نمی‌بینم دو زوج از ۱۰ نفر کنار بگذارند. قسمت نخست این دیدگاه را که برای آقای @good4us نوشته‌ام بخوانید متوجه می‌شوید که ایدهٔ ایشان چه بوده‌است. و حل ایشان درست است تنها یک تقسیم بر ۲ جا انداخته‌اند.

---

@AmirHosein باتشکر