فرض کنید $X$ تعداد کارت های بیرون کشیده شده تا مشاهده اولین آس است . پس $X$ یک متغیر تصادفی هندسی با احتمال موفقیت $ \frac{4}{52} $ است . زیرا در میان $52$ کارت $4$ کارت آس هستند پس احتمال موفقیت یا همان احتمال مشاهده کارت آس $ \frac{4}{52} $ است و احتمال شکست برابر $q=1- \frac{4}{52} = \frac{48}{52} $ است . بنابراین :
$$P(X=x)=q^{x-1}p = ( \frac{48}{52} )^{x-1}( \frac{4}{52} )\ \ \ \ \ \ \ \ x =1,2,3,4,5,... $$
حال امید ریاضی $X$ برابر است با :
$$E(X)= \sum _{x=1}^{ \infty }xP(X=x)= \sum _{x=1}^{ \infty }x( \frac{48}{52} )^{x-1}( \frac{4}{52} )= \frac{4}{52}\sum _{x=1}^{ \infty }x( \frac{48}{52} )^{x-1} $$
حال با استفاده از فر مول $ \sum _{x=1}^{ \infty }xa^{x-1}= \frac{1}{(1-a)^{2}} $ می توان حاصل زیگما را بدست آورد . در نتیجه :
$$E(X)= \frac{4}{52} \sum _{x=1}^{ \infty }x( \frac{48}{52} )^{x-1}= \frac{4}{52} \times \frac{1}{(1- \frac{48}{52} )^{2}} = \frac{52}{4} $$
