به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
117 بازدید
در دانشگاه توسط hootanht (8 امتیاز)

یک دست کارت معمولی 52 تایی را کاملا بٌر زده و سپس از آن ، کارتها را یکی بعد از دیگری تا مشاهده یک آس بیرون میکشیم. فرمولی برای امید ریاضی تعداد کارتهای استخراج شده پیدا کنید.با توضیح

توسط AmirHosein (17,973 امتیاز)
+1
@hootanht تلاش خودتان را نیز اشاره کنید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده (3,034 امتیاز)
انتخاب شده توسط hootanht
 
بهترین پاسخ

فرض کنید $X$ تعداد کارت های بیرون کشیده شده تا مشاهده اولین آس است . پس $X$ یک متغیر تصادفی هندسی با احتمال موفقیت $ \frac{4}{52} $ است . زیرا در میان $52$ کارت $4$ کارت آس هستند پس احتمال موفقیت یا همان احتمال مشاهده کارت آس $ \frac{4}{52} $ است و احتمال شکست برابر $q=1- \frac{4}{52} = \frac{48}{52} $ است . بنابراین :

$$P(X=x)=q^{x-1}p = ( \frac{48}{52} )^{x-1}( \frac{4}{52} )\ \ \ \ \ \ \ \ x =1,2,3,4,5,... $$

حال امید ریاضی $X$ برابر است با :

$$E(X)= \sum _{x=1}^{ \infty }xP(X=x)= \sum _{x=1}^{ \infty }x( \frac{48}{52} )^{x-1}( \frac{4}{52} )= \frac{4}{52}\sum _{x=1}^{ \infty }x( \frac{48}{52} )^{x-1} $$

حال با استفاده از فر مول $ \sum _{x=1}^{ \infty }xa^{x-1}= \frac{1}{(1-a)^{2}} $‌ می توان حاصل زیگما را بدست آورد . در نتیجه :

$$E(X)= \frac{4}{52} \sum _{x=1}^{ \infty }x( \frac{48}{52} )^{x-1}= \frac{4}{52} \times \frac{1}{(1- \frac{48}{52} )^{2}} = \frac{52}{4} $$

توسط hootanht (8 امتیاز)
خیلی ممنون
توسط hootanht (8 امتیاز)
فقط یک سوال ما اینجا x رو متغیر مستقل در نظر گرفتیم درسته؟

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...