از بین 52 کارت کارتها را یکی بعد از دیگری تا مشاهده یک آس بیرون میکشیم. فرمولی برای امید ریاضی تعداد کارتهای استخراج شده پیدا کنید

Question

یک دست کارت معمولی 52 تایی را کاملا بٌر زده و سپس از آن ، کارتها را یکی بعد از دیگری تا مشاهده یک آس بیرون میکشیم. فرمولی برای امید ریاضی تعداد کارتهای استخراج شده پیدا کنید.با توضیح

Comments

@hootanht تلاش خودتان را نیز اشاره کنید.

Answer 1

فرض کنید $X$ تعداد کارت های بیرون کشیده شده تا مشاهده اولین آس است . پس $X$ یک متغیر تصادفی هندسی با احتمال موفقیت $ \frac{4}{52} $ است . زیرا در میان $52$ کارت $4$ کارت آس هستند پس احتمال موفقیت یا همان احتمال مشاهده کارت آس $ \frac{4}{52} $ است و احتمال شکست برابر $q=1- \frac{4}{52} = \frac{48}{52} $ است . بنابراین :

$$P(X=x)=q^{x-1}p = ( \frac{48}{52} )^{x-1}( \frac{4}{52} )\ \ \ \ \ \ \ \ x =1,2,3,4,5,... $$

حال امید ریاضی $X$ برابر است با :

$$E(X)= \sum _{x=1}^{ \infty }xP(X=x)= \sum _{x=1}^{ \infty }x( \frac{48}{52} )^{x-1}( \frac{4}{52} )= \frac{4}{52}\sum _{x=1}^{ \infty }x( \frac{48}{52} )^{x-1} $$

حال با استفاده از فر مول $ \sum _{x=1}^{ \infty }xa^{x-1}= \frac{1}{(1-a)^{2}} $‌ می توان حاصل زیگما را بدست آورد . در نتیجه :

$$E(X)= \frac{4}{52} \sum _{x=1}^{ \infty }x( \frac{48}{52} )^{x-1}= \frac{4}{52} \times \frac{1}{(1- \frac{48}{52} )^{2}} = \frac{52}{4} $$

Comments

خیلی ممنون

---

فقط یک سوال ما اینجا x رو متغیر مستقل در نظر گرفتیم درسته؟