در یک کلاس ۳۵ نفره همه دانش آموزان به یکی از دروس ریاضی، فیزیک یا شیمی علاقه مندند. با شرایط ذکر شده چند نفر فقط ریاضی را انتخاب کرده اند؟

Question

در یک کلاس ۳۵ نفره همه دانش‌آموزان به یکی از دروس ریاضی، فیزیک یا شیمی علاقه‌مندند. ۱۶ نفر ریاضی، ۱۵ نفر فیزیک و ۱۲ نفر شیمی را انتخاب کردند. اگر ۶ نفر ریاضی و فیزیک، ۷ نفر ریاضی و شیمی و ۴نفر فیزیک و شیمی را انتخاب‌کرده‌باشند، چند نفر فقط ریاضی را انتخاب کرده‌اند؟

Answer 1

با توجه به مفروضات سوال، داریم:(A,B,C به ترتیب شیمی،فیزیک،ریاضی)

$|A|=16, | B | =15, | C | =12$

$| A \bigcap B \mid =6$ , $| A \bigcap C | =7$

$| B \bigcap C \mid =4$

با توجه به اینکه سوال گفته است که همه دانش آموزان به یکی از این درس ها علاقه دارند، پس دانش آموزی وجود ندارد که به هیچ کدام علاقه مند نباشد. و با توجه به رابطه زیر داریم :

$\mid A \bigcup B \bigcup C \mid = \mid A \mid + \mid B \mid + \mid C \mid - \mid A \bigcap B | - | A \bigcap C \mid - \mid B \bigcap C \mid + \mid A \bigcap B \bigcap C \mid$

با جایگذاری اعداد خواهیم داشت:

$\mid A \bigcap B \bigcap C \mid =9$

اکنون از رابطه زیر استفاده می کنیم. این رابطه برای به دست آوردن عضو هایی که فقط در A هستند، استفاده می شود.

$\mid A \mid - \mid A \bigcap B \mid - \mid A \bigcap C \mid + \mid A \bigcap B \bigcap C \mid$

پس جواب می شود ۱۲