سلام دوست عزیز,
ابتدا معادله
$e^xy''+xy=0$
را باز نویسی می کنیم.
$y''+xe^{-x}y=0$
حال همانطور که می دانید با استفاده از روش سری توانی حول صفر, عبارت
$y=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{b_nx^n}{n!}$ , $\displaystyle e^x=\sum \frac{x^n}{n!}$ را در معادله فوق با محاسبه
$y''=\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}$ و جایگذاری در معادله داریم:
$$\to\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}+xe^{-x}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{b_nx^n}{n!}=0$$
$$\to\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}+x\left(\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nx^n}{n!}\right)\left(\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{b_nx^n}{n!}\right)=0$$
حال با استفاده از ضرب کشی سری های فوق را درهم ضرب می کنیم و داریم:
$$\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}+x\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{b_kx^k(-1)^{n-k}x^{n-k}}{k!(n-k)!}=0$$
بعد از کمی محاسبه داریم:
$$\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{b_nx^{n-2}}{(n-2)!}+\sum\limits_{n=3}^\infty\left(\sum\limits_{k=0}^{n-3}(-1)^{n-k-3}\frac{(n-3)!}{(n-3-k)!(k)!}b_k\right)\dfrac{x^{n-2}}{(n-3)!}=0$$
$$\to b_2+\sum\limits_{n=3}^\infty\left(\dfrac{b_n}{n-2}+\sum\limits_{k=0}^{n-3}(-1)^{n-k-3}\frac{(n-3)!}{(n-3-k)!(k)!}b_k\right)\dfrac{x^{n-2}}{(n-3)!}=0$$
و سرانجام داریم:
$$\begin{cases}b_2=0\\ \dfrac{b_n}{n-2}+\sum\limits_{k=0}^{n-3}(-1)^{n-k-3}\frac{(n-3)!}{(n-3-k)!(k)!}b_k=0\end{cases}$$
که محاسبه ضرایب $b_n$ با روش های موجود مساله ای دیگری است.
