به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
75 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

در بین همه چندجمله های $ p \in P_n $ که $ \| p \| =1$ و $T_n(x)$ دارای بزرگترین مشتقات از هر مرتبه در نقاط $x= \pm 1$ می باشد و حتی اگر $ p \in P_n $ طوری باشد که در $j=0,1,2,...,n$ $ | p(cos( \pi j/n)) | \leq 1$ ،در این صورت هرگاه $k \geq 1$ باشد ثابت کنید $ \| p^k \| \leq \| T_n^k(1) \|= \frac{n^2(n^2-1)...(n^2-(k-1)^2)}{1 \times 3 \times 5 \times ... \times (2k-1)} $

مرجع: صفحهٔ ۳۲ کتاب An introduction to the approximation of functions نوشتهٔ Theodore J. Rivlin
دارای دیدگاه توسط
+2
سلام. ممنون بابت آموزش این نکته که باید به پاسخ های داده شده توسط دوستان تایید و امتیاز داد. اطلاعی در این زمینه نداشتم. حتما این کار رو انجام میدم.
سوال از An introduction to the approximation of functions صفحه 32 می باشد که بدون اثبات آورده. من منبع رو سریع نوشتم. بدون دقت در ترجمه صحیح.
برای اثبات چند تا منبع معرفی شده در کتاب رو جستجو کردم. خیلی بسیط و جبری بودند. نتونستم به صورت خلاصه مفید و قابل فهم کاربردی تبدیل کنم.
دارای دیدگاه توسط
@علیرضا
بسیار عالی. تنها یک نکتهٔ دیگر در مورد مرجع‌نویسی: نام کتاب و نام نویسنده را نباید ترجمه کرد و باید همان نام اصلی در زبان اصلی که در مشخصات اصلی کتاب نشر داده‌شده‌است بیاورید. زیرا کتاب با آن مشخصات ثبت شده‌است نه با ترجمه‌ای که شما قرار می‌دهید. اگر نسخهٔ ترجمهٔ ثبت‌شده‌ای از آن وجود دارد که منبع‌تان بوده‌است به جای نسخهٔ زبان اصلی، آنگاه باید نامی که در مشخصات نسخهٔ ترجمه‌شده آمده‌است را بنویسید (و نه ترجمه از خودتان). دلیل اینها نیز روشن است و این است که هدف این است که خواننده بتواند مرجع شما را بیابد و مراجع نیز همیشه با یک مشخصات ثابت در سیستم‌ها ثبت می‌شوند.
موفق باشید

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

به نظر من در ترجمه مشکل دارید. remark-ِ صفحهٔ ۳۲ دو قسمت دارد. ترجمهٔ درستِ آنها را در داخل گیومه آورده‌ام. برای اثبات قسمت نخست نیاز به جستجو ندارید.

«بنا به قضیهٔ ۱.۱۰، $T_n(x)$ بزرگترین مشتق‌ها از هر مرتبه‌ای را در $x=\pm 1$ در میان همهٔ $p\in P_n$ که در $||p||=1$ صدق کنند، دارد.»

این قسمت واقعا نتیجهٔ سر راستی از قضیهٔ ۱.۱۰ است. در قضیه گفته شده‌است که «اگر $p\in P_n$ و $|x_0|\geq 1$، آنگاه برای هر $k=0,1,\dots,n$ داریم $|p^{(k)}(x_0)|>||p||\,|T^{(k)}_n(x_0)|$.» اکنون به جای $||p||$ بگذارید ۱ و بعلاوه $x=\pm 1$ در $|x|\geq 1$ صدق می‌کند. پس برای هر $k=0,1,\dots,n$ و $p$ با ویژگی‌های فرض قسمت نخست remark داریم $|p^{(k)}(x)|>|T^{(k)}_n(x)|$ که یعنی مشتق‌ چندجمله‌ای‌های چبیشف در این دو نقطه از مشتق‌های چندجمله‌ای‌های $p\in P_n$ که $||p||=1$، بزرگتر است.

و اما قسمت دوم اینگونه آمده‌است:

«در حقیقت، بیشتر از این برقرا است. یعنی، اگر $p\in P_n$ و برای هر $j=0,1,\dots,n$ داشته‌باشیم $|p(\cos\frac{j\pi}{n})|\leq 1$ (که مطمئنا برای حالتی که $||p||\leq 1$ برقرار است)، آنگاه برای $k\geq 1$ها داریم $$||p^{(k)}||\leq T_n^{(k)}(1)=\frac{n^2(n^2-1)\dots(n^2-(k-1)^2)}{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2k-1)}.$$ این نتیجهٔ جالب (در حالتی که $||p||\leq 1$) منسوب به V. Markov [مرجع ۱] (پانویس: حالت $k=1$ منسوب به A. A. Markov است.) می‌باشد، اما ما نمی‌توانیم آن را اینجا ثابت کنیم. حالت به گونه‌ای کلی‌تر بیان‌شده در اینجا منسوب به Duffin و Schaeffer است.»

بنابراین:

  1. کتاب نمی‌خواسته‌است اثبات قسمت دوم remark را در کتاب بیاورد.
  2. برای اثبات به مرجع رجوع داده است: [پیوند مرجع ۱] و حالت کلی‌تر را به نام اثبات‌کننده‌هایش اشاره کرده‌است که قابل جستجو باشد. (پیوند مرجع برای حالت کلی)

اینکه اثبات در مرجع‌ها طولانی بوده‌است می‌تواند دلیلی باشد که نویسنده از آوردن آن در کتاب خودداری کرده‌است.

دارای دیدگاه توسط
+1
ممنون بابت تلاش، اصلاح و بهبود ترجمه و پاسخی که دادید...پس برای اثبات قسمت دوم بهترین کار خوندن مقاله مرجع می باشد. و اثبات کوتاه تر و روان تری نیست.
دارای دیدگاه توسط
+1
@علیرضا
از آقای @kazomano بپرسید، شاید در جریان اثبات کوتاه‌تری بودند.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...