به نظر من در ترجمه مشکل دارید. remark-ِ صفحهٔ ۳۲ دو قسمت دارد. ترجمهٔ درستِ آنها را در داخل گیومه آوردهام. برای اثبات قسمت نخست نیاز به جستجو ندارید.
«بنا به قضیهٔ ۱.۱۰، $T_n(x)$ بزرگترین مشتقها از هر مرتبهای را در $x=\pm 1$ در میان همهٔ $p\in P_n$ که در $||p||=1$ صدق کنند، دارد.»
این قسمت واقعا نتیجهٔ سر راستی از قضیهٔ ۱.۱۰ است. در قضیه گفته شدهاست که «اگر $p\in P_n$ و $|x_0|\geq 1$، آنگاه برای هر $k=0,1,\dots,n$ داریم $|p^{(k)}(x_0)|>||p||\,|T^{(k)}_n(x_0)|$.» اکنون به جای $||p||$ بگذارید ۱ و بعلاوه $x=\pm 1$ در $|x|\geq 1$ صدق میکند. پس برای هر $k=0,1,\dots,n$ و $p$ با ویژگیهای فرض قسمت نخست remark داریم $|p^{(k)}(x)|>|T^{(k)}_n(x)|$ که یعنی مشتق چندجملهایهای چبیشف در این دو نقطه از مشتقهای چندجملهایهای $p\in P_n$ که $||p||=1$، بزرگتر است.
و اما قسمت دوم اینگونه آمدهاست:
«در حقیقت، بیشتر از این برقرا است. یعنی، اگر $p\in P_n$ و برای هر $j=0,1,\dots,n$ داشتهباشیم $|p(\cos\frac{j\pi}{n})|\leq 1$ (که مطمئنا برای حالتی که $||p||\leq 1$ برقرار است)، آنگاه برای $k\geq 1$ها داریم
$$||p^{(k)}||\leq T_n^{(k)}(1)=\frac{n^2(n^2-1)\dots(n^2-(k-1)^2)}{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2k-1)}.$$
این نتیجهٔ جالب (در حالتی که $||p||\leq 1$) منسوب به V. Markov [مرجع ۱] (پانویس: حالت $k=1$ منسوب به A. A. Markov است.) میباشد، اما ما نمیتوانیم آن را اینجا ثابت کنیم. حالت به گونهای کلیتر بیانشده در اینجا منسوب به Duffin و Schaeffer است.»
بنابراین:
- کتاب نمیخواستهاست اثبات قسمت دوم remark را در کتاب بیاورد.
- برای اثبات به مرجع رجوع داده است: [پیوند مرجع ۱] و حالت کلیتر را به نام اثباتکنندههایش اشاره کردهاست که قابل جستجو باشد. (پیوند مرجع برای حالت کلی)
اینکه اثبات در مرجعها طولانی بودهاست میتواند دلیلی باشد که نویسنده از آوردن آن در کتاب خودداری کردهاست.
