به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
121 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط aaa (211 امتیاز)
ویرایش شده توسط good4us

نشان دهید به ازای هر $ \epsilon > 0$ مفروض یک $ \delta > 0$ وجود دارد به طوری که برای هر t

$$0 < |t-c | < \delta \Longrightarrow | f(t) -L | < \varepsilon $$

$f(t)= \frac{ \frac{1}{t} - \frac{1}{3} }{t-3} $ در $t=3$

توسط MSS (1,608 امتیاز)
+1
به جای t قرار بده  t+Ꜫ بعد مخرج مشترک بگیر و ساده کن. در نهایت به جای t عدد 3 قرار بده. جواب -1/9 میشود.
توسط aaa (211 امتیاز)
من گفتم اثبات کنید که دارای حد هست به روش اپثیلون دلتا
شاید منظورمو نفهمیدی
سوال رو ویرایش کردم دو باره نگاه بنداز.
بازم ممنون از راهنماییت.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)
انتخاب شده توسط aaa
 
بهترین پاسخ

اولا اگر با روش های حدگیری آشنا باشید واضح است که:

$$\require{cancel} \lim_{t\to 3}\frac{\frac 1t-\frac 13}{t-3} = \lim_{t\to 3}\frac{\cancel{3-t}}{3t\cancel{(t-3)}} = \lim_{t\to 3}\frac{-1}{3t}=\frac {-1}9$$

اما با استفاده از تعریف حد فرض کنید $\epsilon>0$ داده شده باشد در اینصورت باید دنبال $\delta>0$ ی باشیم که اگر $0< |t-3|< \delta$ آنگاه $\left |\frac{\frac 1t-\frac 13}{t-3}-(-\frac 19)\right|< \epsilon$

از نامساوی اخیر داریم $\left|\frac{3-t}{3t(t-3)}+\frac 19\right|< \epsilon$ اگر و تنها اگر $\left|\frac{t^2-6t+9}{9t(t-3)}\right|< \epsilon$ اگر و تنها اگر $$\left|\frac{(t-3)^2}{9t(t-3)}\right|=\left|\frac{t-3}{9t}\right|=\frac 19\frac1{|t|}|t-3|< \epsilon$$

همانطور که می بینید در مخرج $|t|$ داریم لذا باید دلتایی که در نظر میگیریم آنقدر بزرگ نباشد که همایگی $0< |t-3|< \delta$ شامل $t=0$ شود پس باید $\delta < 3$ انتخاب شود( می توانید $\delta< 2$ یا $\delta< 1$ یا $\delta$ کمتر از هر عددی کوچکتر از $3$ اختیار کنید این دیگه قاعده ای نداره و به دلخواه شماست. فقط شرط این است که همسایگی شامل صفر نشود) مثلا در اینجا $\delta< 2$ در نظر بگیریم در اینصورت از $||t|-3|< |t-3|< 2$ داریم $-2< |t|-3$ داریم $|t|>1$ و لذا $\frac 1{|t|}< 1$ که در اینصورت $$ \frac 19\frac1{|t|}|t-3|< \frac 19\times 1\times |t-3|< \epsilon $$ اگر و تنهااگر $|t-3|< 9\epsilon$ پس کافی است $0< \delta< \min\{2, 9\epsilon\}$ انتخاب کنیم.

توسط aaa (211 امتیاز)
ویرایش شده توسط aaa
من هم همین جواب رو به دست آوردم اما جوابی که تو کتاب اومده مینیمم 1 و 18اپسیلون است .
هرچند اون هم درسته و با تعریف حد جور در میاد.
توسط fardina (17,196 امتیاز)
خوب لابد $\delta< 1$ در نظر گرفته بوده به جای $2$.
اگر جواب رو داشتید باید جواب رو می نوشتید و میگفتید در کجا به مشکل برخوردید و توضیح‌ می خواستید!
پس از این به یعد لطفا کامل توضیح بدید و تلاشتون برای مساله رو بنویسید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...